Номер 810, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 810, страница 263.

Условие.

809 Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $y = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x + 1, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 1 - 3x, \text{ если } x < 1 \\ x + 2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

810 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

1) Самолёт начал снижение на высоте 8500 м. На графике (рис. 5.47) показано изменение его высоты над землёй в первые 20 мин снижения. Перечертите график в тетрадь и подберите прямую, вокруг которой укладываются эти точки. Определите, сколько примерно минут длилось снижение самолёта и какова была средняя скорость снижения (в м/мин).

Рис. 5.47

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Заданная кусочная функция: $y = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x + 1, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$.

В данной записи значению аргумента $x=0$ соответствуют два различных значения $y$: $y(0) = 2(0)+3 = 3$ и $y(0) = -0+1 = 1$. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем считать, что одно из неравенств является строгим, например, второе условие $x < 0$. Тогда функция принимает вид:

$y = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ имеем линейную функцию $y = 2x+3$. Её график — луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (при $x=0, y=3$) и проходящий, например, через точку $(1, 5)$ (при $x=1, y=5$).

2. При $x < 0$ имеем линейную функцию $y = -x+1$. Её график — луч, который проходит, например, через точку $(-2, 3)$ и заканчивается в точке $(0, 1)$, которая не принадлежит графику (является «выколотой»), так как неравенство строгое.

График функции состоит из двух лучей. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: Для $x \ge 0$, значения $y$ начинаются от 3 и возрастают до бесконечности, то есть $y \in [3; +\infty)$. Для $x < 0$, значения $y$ больше 1, то есть $y \in (1; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает $E(y) = (1; +\infty)$.

3. Нули функции: Функция не пересекает ось абсцисс, так как её наименьшие значения стремятся к 1, но не достигают его. Нулей нет.

4. Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (1; +\infty)$, функция всегда положительна: $y > 0$ при всех $x \in D(y)$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y = -x+1$ убывает (угловой коэффициент $k=-1 < 0$). На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = 2x+3$ возрастает (угловой коэффициент $k=2 > 0$).

6. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$, но имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Ответ: График функции (при исправленном условии) состоит из двух лучей $y = -x+1$ на $(-\infty, 0)$ и $y = 2x+3$ на $[0, \infty)$, с разрывом в точке $x=0$. Свойства функции перечислены выше.

б)

Заданная кусочная функция: $y = \begin{cases} 1 - 3x, & \text{если } x < 1 \\ x + 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Функция определена для всех $x$, кроме $x=1$.

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x < 1$ имеем линейную функцию $y = 1-3x$. Её график — луч. Найдём две точки: при $x=0, y=1$. В граничной точке $x=1$ значение $y$ стремится к $1 - 3(1) = -2$. Точка $(1, -2)$ является выколотой.

2. При $x > 1$ имеем линейную функцию $y = x+2$. Её график — луч. В граничной точке $x=1$ значение $y$ стремится к $1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ является выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=2, y=4$.

График состоит из двух лучей, разделенных в точке $x=1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Для $x < 1$, $y \in (-2; +\infty)$. Для $x > 1$, $y \in (3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает $E(y) = (-2; +\infty)$.

3. Нули функции: Найдем, при каком $x$ значение $y=0$. При $x < 1$: $1-3x = 0 \implies 3x=1 \implies x=1/3$. Это значение входит в промежуток $x < 1$. При $x > 1$: $x+2 = 0 \implies x=-2$. Это значение не входит в промежуток $x > 1$. Таким образом, функция имеет один нуль: $x=1/3$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1/3) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1/3; 1)$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 1)$ функция $y=1-3x$ убывает ($k=-3 < 0$). На промежутке $(1; +\infty)$ функция $y=x+2$ возрастает ($k=1 > 0$).

6. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения. В точке $x=1$ она не определена и имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из двух лучей $y=1-3x$ на $(-\infty, 1)$ и $y=x+2$ на $(1, \infty)$, с разрывом в точке $x=1$. Свойства функции перечислены выше.

---

1)

Для решения задачи необходимо аппроксимировать данные о снижении самолета линейной функцией, то есть подобрать прямую, которая наилучшим образом описывает эти данные. Затем, используя уравнение этой прямой, найти общее время снижения и среднюю скорость.

Шаг 1. Подбор прямой.

Уравнение прямой в общем виде: $h(t) = kt + b$, где $h$ — высота в тыс. м, $t$ — время в минутах, $k$ — угловой коэффициент (скорость изменения высоты), $b$ — начальная высота.

Из условия известно, что снижение началось с высоты 8500 м, что составляет 8,5 тыс. м. Это значит, что в момент времени $t=0$, высота $h(0) = 8,5$. Таким образом, коэффициент $b=8,5$.

Уравнение принимает вид: $h(t) = kt + 8,5$.

Чтобы найти коэффициент $k$, воспользуемся данными с графика. Выберем точку, которая, по-видимому, хорошо отражает общую тенденцию. Возьмем точку в конце наблюдаемого интервала, при $t=20$ мин. Судя по графику, высота в этот момент составляет примерно $h=2,4$ тыс. м. Получаем точку $(20; 2,4)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой для нахождения $k$:

$2,4 = k \cdot 20 + 8,5$

$20k = 2,4 - 8,5$

$20k = -6,1$

$k = -\frac{6,1}{20} = -0,305$

Таким образом, зависимость высоты от времени можно описать уравнением: $h(t) = -0,305t + 8,5$.

Шаг 2. Определение времени снижения.

Снижение самолета заканчивается, когда его высота становится равной нулю, то есть $h(t) = 0$.

$0 = -0,305t + 8,5$

$0,305t = 8,5$

$t = \frac{8,5}{0,305} \approx 27,87$ мин.

Округлив, получим, что снижение длилось примерно 28 минут.

Шаг 3. Определение средней скорости снижения.

Средняя скорость снижения соответствует модулю углового коэффициента $k$ нашей прямой. Коэффициент $k = -0,305$ тыс. м/мин.

Переведем эту величину в м/мин:

Скорость изменения высоты = $-0,305 \times 1000 = -305$ м/мин.

Средняя скорость снижения — это положительная величина, равная модулю скорости изменения высоты: $|-305| = 305$ м/мин.

Ответ: Снижение самолета длилось примерно 28 минут, а средняя скорость снижения составляла примерно 305 м/мин.