Страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

807 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -\frac{x}{3}, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{3}, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x-2}{2}, & \text{если } x \le -2 \\ -2, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ \frac{x-6}{2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

а) Для построения графика функции $y = \begin{cases} -\frac{x}{3}, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{3}, & \text{если } -1 < x < 1 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ рассмотрим каждый её участок.

1. На промежутке $x \le -1$ имеем линейную функцию $y = -\frac{x}{3}$. Её график — это луч. Для его построения найдём координаты двух точек. При $x = -1$, $y = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(-1, \frac{1}{3})$ принадлежит графику (закрашенная). При $x = -4$, $y = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$. Вторая точка — $(-4, \frac{4}{3})$. Проводим луч через эти две точки с началом в $(-1, \frac{1}{3})$.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция постоянна: $y = \frac{1}{3}$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой, концы которого не входят в график (выколотые точки). Левая граница отрезка соответствует точке $(-1, \frac{1}{3})$, а правая — $(1, \frac{1}{3})$. Так как в точке $x=-1$ значение функции, определённое на первом участке, равно $\frac{1}{3}$, то выколотая точка $(-1, \frac{1}{3})$ "закрывается", и разрыва в этой точке нет.

3. На промежутке $x > 1$ имеем линейную функцию $y = \frac{x}{3}$. Её график — луч. Начало луча — выколотая точка, так как неравенство строгое. Её координаты найдём, подставив $x=1$: $y = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$. Для построения возьмём ещё одну точку, например, при $x = 4$, $y = \frac{4}{3}$. Точка $(4, \frac{4}{3})$. Проводим луч из выколотой точки $(1, \frac{1}{3})$ через точку $(4, \frac{4}{3})$.

Объединяя все части, видим, что в точке $x=1$ функция не определена. Предел слева и предел справа в этой точке совпадают и равны $\frac{1}{3}$. Это означает, что в точке $(1, \frac{1}{3})$ на графике будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из луча $y = -x/3$ на $(-\infty, -1]$, горизонтального отрезка $y=1/3$ на $(-1, 1)$ и луча $y=x/3$ на $(1, \infty)$. График непрерывен в точке $x=-1$. В точке $x=1$ имеется разрыв (устранимый), на графике это выколотая точка с координатами $(1, 1/3)$.

б) Для построения графика функции $y = \begin{cases} \frac{x-2}{2}, & \text{если } x \le -2 \\ -2, & \text{если } -2 < x < 2 \\ \frac{x-6}{2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый её участок.

1. На промежутке $x \le -2$ имеем линейную функцию $y = \frac{x-2}{2} = \frac{1}{2}x - 1$. Её график — это луч. Найдём координаты двух точек. При $x = -2$, $y = \frac{-2-2}{2} = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику (закрашенная). При $x = -4$, $y = \frac{-4-2}{2} = -3$. Вторая точка — $(-4, -3)$. Проводим луч через эти две точки с началом в $(-2, -2)$.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ функция постоянна: $y = -2$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой с выколотыми концами. Левая граница отрезка соответствует точке $(-2, -2)$, а правая — $(2, -2)$. Так как в точке $x=-2$ значение функции, определённое на первом участке, равно $-2$, то выколотая точка $(-2, -2)$ "закрывается", и разрыва в этой точке нет.

3. На промежутке $x > 2$ имеем линейную функцию $y = \frac{x-6}{2} = \frac{1}{2}x - 3$. Её график — луч. Начало луча — выколотая точка, так как неравенство строгое. Её координаты найдём, подставив $x=2$: $y = \frac{2-6}{2} = -2$. Точка $(2, -2)$. Для построения возьмём ещё одну точку, например, при $x = 6$, $y = \frac{6-6}{2} = 0$. Точка $(6, 0)$. Проводим луч из выколотой точки $(2, -2)$ через точку $(6, 0)$.

Объединяя все части, видим, что в точке $x=2$ функция не определена. Предел слева и предел справа в этой точке совпадают и равны $-2$. Это означает, что в точке $(2, -2)$ на графике будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из луча $y = \frac{1}{2}x - 1$ на $(-\infty, -2]$, горизонтального отрезка $y=-2$ на $(-2, 2)$ и луча $y = \frac{1}{2}x - 3$ на $(2, \infty)$. График непрерывен в точке $x=-2$. В точке $x=2$ имеется разрыв (устранимый), на графике это выколотая точка с координатами $(2, -2)$.

808 На рисунке 5.46 построен график функции

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 3, & \text{если } x \le 2 \\ x - 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2; -2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы:

а) Какова область определения функции?

б) Чему равно значение функции при $x = -1$; 0; 1; 2; 3?

в) Сколько нулей имеет функция?

г) На каких промежутках функция возрастает? убывает?

д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Рис. 5.46

а) Какова область определения функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная кусочно-линейная функция определена для всех $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 2$ или условию $x > 2$. Объединение этих двух множеств, $(-\infty; 2] \cup (2; +\infty)$, представляет собой всю числовую прямую.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) Чему равно значение функции при $x = -1; 0; 1; 2; 3$?

Для нахождения значений функции необходимо подставить заданные значения $x$ в соответствующую формулу в зависимости от того, какому промежутку принадлежит $x$.

При $x = -1$, так как $-1 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$:
$f(-1) = -\frac{1}{2}(-1) + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$.

При $x = 0$, так как $0 \le 2$, используем первую формулу:
$f(0) = -\frac{1}{2}(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.

При $x = 1$, так как $1 \le 2$, используем первую формулу:
$f(1) = -\frac{1}{2}(1) + 3 = -0.5 + 3 = 2.5$.

При $x = 2$, так как $2 \le 2$, используем первую формулу:
$f(2) = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$.

При $x = 3$, так как $3 > 2$, используем вторую формулу $f(x) = x - 4$:
$f(3) = 3 - 4 = -1$.

Ответ: $f(-1) = 3.5$; $f(0) = 3$; $f(1) = 2.5$; $f(2) = 2$; $f(3) = -1$.

в) Сколько нулей имеет функция?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$. Найдем нули для каждой части функции.

1. Для $x \le 2$: решаем уравнение $-\frac{1}{2}x + 3 = 0$. Получаем $-\frac{1}{2}x = -3$, откуда $x = 6$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, на данном промежутке нулей нет.

2. Для $x > 2$: решаем уравнение $x - 4 = 0$. Получаем $x = 4$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это нуль функции.

Таким образом, функция имеет только один нуль.

Ответ: Функция имеет один нуль.

г) На каких промежутках функция возрастает? убывает?

Направление изменения функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента для каждой линейной части.

На промежутке $(-\infty; 2]$ функция $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ имеет угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция на этом промежутке убывает.

На промежутке $(2; +\infty)$ функция $f(x) = x - 4$ имеет угловой коэффициент $k = 1$. Так как $k > 0$, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Для определения промежутков знакопостоянства найдем, где $f(x) > 0$ и где $f(x) < 0$. Мы уже знаем, что функция обращается в ноль при $x=4$.

Функция положительна ($f(x) > 0$):
1. На промежутке $(-\infty; 2]$ наименьшее значение функции достигается при $x=2$ и равно $f(2)=2$. Так как наименьшее значение положительно, функция положительна на всем этом промежутке.
2. На промежутке $(2; +\infty)$ решаем неравенство $x - 4 > 0$, откуда $x > 4$.
Объединяя результаты, функция положительна на $(-\infty; 2] \cup (4; +\infty)$.

Функция отрицательна ($f(x) < 0$):
1. На промежутке $(-\infty; 2]$ функция всегда положительна.
2. На промежутке $(2; +\infty)$ решаем неравенство $x - 4 < 0$, откуда $x < 4$. С учетом условия $x > 2$, получаем, что функция отрицательна на промежутке $(2; 4)$.

Ответ: Функция положительна на промежутках $(-\infty; 2]$ и $(4; +\infty)$; отрицательна на промежутке $(2; 4)$.

809 Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $y = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x + 1, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 1 - 3x, \text{ если } x \le 1 \\ x + 2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Заданная в пункте а) система $y=\begin{cases}2x+3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x+1, \text{ если } x \le 0 \end{cases}$ не определяет функцию, так как при $x=0$ значение $y$ становится неоднозначным ($y=3$ и $y=1$). Это нарушает определение функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции.

Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем решать задачу в предположении, что функция имеет вид: $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x+1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. В этом случае значение при $x=0$ однозначно определено: $y(0)=2(0)+3=3$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \ge 0$ строим график линейной функции $y = 2x+3$. Это луч, начинающийся в точке, где $x=0$.

• При $x=0$, $y = 2(0)+3=3$. Начальная точка луча — $(0,3)$ (точка закрашенная).
• Возьмем еще одну точку, например, $x=1$: $y=2(1)+3=5$. Точка $(1,5)$ принадлежит лучу.

2. Для $x < 0$ строим график линейной функции $y = -x+1$. Это луч, определенный для всех $x$ левее 0.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x\to 0^-} (-x+1) = 1$. Таким образом, луч "подходит" к точке $(0,1)$, которая не принадлежит графику (точка выколотая).
• Возьмем точку из этой области, например, $x=-2$: $y=-(-2)+1=3$. Точка $(-2,3)$ принадлежит лучу.

Свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Для $x < 0$, значения функции $y=-x+1$ принимают все значения из интервала $(1; +\infty)$. Для $x \ge 0$, значения функции $y=2x+3$ принимают все значения из отрезка $[3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств: $(1; +\infty) \cup [3; +\infty) = (1; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox ($y=0$).
  $2x+3=0 \implies x=-1.5$. Это значение не входит в промежуток $x \ge 0$.
  $-x+1=0 \implies x=1$. Это значение не входит в промежуток $x < 0$.
  Следовательно, у функции нет нулей.
• Пересечение с осью Oy: При $x=0$ имеем $y=2(0)+3=3$. Точка пересечения с осью Oy — $(0,3)$.
• Промежутки монотонности: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=-x+1$ убывает (коэффициент при $x$ отрицательный). На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=2x+3$ возрастает (коэффициент при $x$ положительный).
• Экстремумы: Так как функция убывает до $x=0$, а затем возрастает, можно было бы ожидать минимум в точке $x=0$. Однако из-за разрыва функции в этой точке (значения слева от нуля стремятся к 1, а в самой точке $y(0)=3$), точка $x=0$ не является точкой локального минимума. Точек экстремума у функции нет.
• Четность и нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. $y(-1) = -(-1)+1=2$, а $y(1)=2(1)+3=5$. Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция является функцией общего вида.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} y(x) = 1$, а $y(0)=3$.

Ответ: При предположении, что $y=\begin{cases} 2x+3, & x \ge 0 \\ -x+1, & x < 0 \end{cases}$, график состоит из двух лучей с разрывом в точке $x=0$. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; $E(y) = (1; +\infty)$; нулей нет; функция общего вида; убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $[0, +\infty)$; не имеет экстремумов; имеет разрыв первого рода в $x=0$.

Дана функция $y = \begin{cases} 1-3x, & \text{если } x \le 1 \\ x+2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график линейной функции $y = 1-3x$. Это луч, заканчивающийся в точке, где $x=1$.

• При $x=1$, $y = 1-3(1)=-2$. Конечная точка луча — $(1,-2)$ (точка закрашенная).
• Возьмем еще одну точку, например, $x=0$: $y=1-3(0)=1$. Точка $(0,1)$ принадлежит лучу.

2. Для $x > 1$ строим график линейной функции $y = x+2$. Это луч, начинающийся в точке, где $x=1$.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1 справа: $\lim_{x\to 1^+} (x+2) = 3$. Таким образом, луч начинается из точки $(1,3)$, которая не принадлежит графику (точка выколотая).
• Возьмем точку из этой области, например, $x=2$: $y=2+2=4$. Точка $(2,4)$ принадлежит лучу.

Свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Для $x \le 1$, значения функции $y=1-3x$ принимают все значения из отрезка $[-2; +\infty)$. Для $x > 1$, значения функции $y=x+2$ принимают все значения из интервала $(3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств: $[-2; +\infty) \cup (3; +\infty) = [-2; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = [-2; +\infty)$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox ($y=0$).
  $1-3x=0 \implies 3x=1 \implies x=1/3$. Это значение входит в промежуток $x \le 1$.
  $x+2=0 \implies x=-2$. Это значение не входит в промежуток $x > 1$.
  Следовательно, у функции один нуль: $x=1/3$.
• Пересечение с осью Oy: При $x=0$ имеем $y=1-3(0)=1$. Точка пересечения с осью Oy — $(0,1)$.
• Промежутки монотонности: На промежутке $(-\infty; 1]$ функция $y=1-3x$ убывает (коэффициент при $x$ отрицательный). На промежутке $(1; +\infty)$ функция $y=x+2$ возрастает (коэффициент при $x$ положительный).
• Экстремумы: Функция убывает до $x=1$ и возрастает после $x=1$. В точке $x=1$ значение функции $y(1)=-2$. Для всех $x$ в окрестности точки 1 (как слева, так и справа) значения функции больше -2. Таким образом, точка $(1, -2)$ является точкой минимума (как локального, так и глобального). $y_{min} = -2$ при $x=1$.
• Четность и нечетность: Проверим: $y(1)=-2$, $y(-1)=1-3(-1)=4$. Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция является функцией общего вида.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. В точке $x=1$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 1^-} y(x) = -2$, а $\lim_{x\to 1^+} y(x) = 3$.

Ответ: График состоит из двух лучей с разрывом в точке $x=1$. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; $E(y) = [-2; +\infty)$; нуль функции $x=1/3$; функция общего вида; убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $(1, +\infty)$; точка минимума $(1, -2)$, $y_{min}=-2$; имеет разрыв первого рода в $x=1$.

809 Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $y = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x + 1, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 1 - 3x, \text{ если } x < 1 \\ x + 2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

810 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

1) Самолёт начал снижение на высоте 8500 м. На графике (рис. 5.47) показано изменение его высоты над землёй в первые 20 мин снижения. Перечертите график в тетрадь и подберите прямую, вокруг которой укладываются эти точки. Определите, сколько примерно минут длилось снижение самолёта и какова была средняя скорость снижения (в м/мин).

Рис. 5.47

a)

Заданная кусочная функция: $y = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x + 1, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$.

В данной записи значению аргумента $x=0$ соответствуют два различных значения $y$: $y(0) = 2(0)+3 = 3$ и $y(0) = -0+1 = 1$. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем считать, что одно из неравенств является строгим, например, второе условие $x < 0$. Тогда функция принимает вид:

$y = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ имеем линейную функцию $y = 2x+3$. Её график — луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (при $x=0, y=3$) и проходящий, например, через точку $(1, 5)$ (при $x=1, y=5$).

2. При $x < 0$ имеем линейную функцию $y = -x+1$. Её график — луч, который проходит, например, через точку $(-2, 3)$ и заканчивается в точке $(0, 1)$, которая не принадлежит графику (является «выколотой»), так как неравенство строгое.

График функции состоит из двух лучей. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: Для $x \ge 0$, значения $y$ начинаются от 3 и возрастают до бесконечности, то есть $y \in [3; +\infty)$. Для $x < 0$, значения $y$ больше 1, то есть $y \in (1; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает $E(y) = (1; +\infty)$.

3. Нули функции: Функция не пересекает ось абсцисс, так как её наименьшие значения стремятся к 1, но не достигают его. Нулей нет.

4. Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (1; +\infty)$, функция всегда положительна: $y > 0$ при всех $x \in D(y)$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y = -x+1$ убывает (угловой коэффициент $k=-1 < 0$). На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = 2x+3$ возрастает (угловой коэффициент $k=2 > 0$).

6. Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$, но имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Ответ: График функции (при исправленном условии) состоит из двух лучей $y = -x+1$ на $(-\infty, 0)$ и $y = 2x+3$ на $[0, \infty)$, с разрывом в точке $x=0$. Свойства функции перечислены выше.

б)

Заданная кусочная функция: $y = \begin{cases} 1 - 3x, & \text{если } x < 1 \\ x + 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Функция определена для всех $x$, кроме $x=1$.

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x < 1$ имеем линейную функцию $y = 1-3x$. Её график — луч. Найдём две точки: при $x=0, y=1$. В граничной точке $x=1$ значение $y$ стремится к $1 - 3(1) = -2$. Точка $(1, -2)$ является выколотой.

2. При $x > 1$ имеем линейную функцию $y = x+2$. Её график — луч. В граничной точке $x=1$ значение $y$ стремится к $1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$ является выколотой. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=2, y=4$.

График состоит из двух лучей, разделенных в точке $x=1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений: Для $x < 1$, $y \in (-2; +\infty)$. Для $x > 1$, $y \in (3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает $E(y) = (-2; +\infty)$.

3. Нули функции: Найдем, при каком $x$ значение $y=0$. При $x < 1$: $1-3x = 0 \implies 3x=1 \implies x=1/3$. Это значение входит в промежуток $x < 1$. При $x > 1$: $x+2 = 0 \implies x=-2$. Это значение не входит в промежуток $x > 1$. Таким образом, функция имеет один нуль: $x=1/3$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1/3) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1/3; 1)$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 1)$ функция $y=1-3x$ убывает ($k=-3 < 0$). На промежутке $(1; +\infty)$ функция $y=x+2$ возрастает ($k=1 > 0$).

6. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения. В точке $x=1$ она не определена и имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из двух лучей $y=1-3x$ на $(-\infty, 1)$ и $y=x+2$ на $(1, \infty)$, с разрывом в точке $x=1$. Свойства функции перечислены выше.

1)

Для решения задачи необходимо аппроксимировать данные о снижении самолета линейной функцией, то есть подобрать прямую, которая наилучшим образом описывает эти данные. Затем, используя уравнение этой прямой, найти общее время снижения и среднюю скорость.

Шаг 1. Подбор прямой.

Уравнение прямой в общем виде: $h(t) = kt + b$, где $h$ — высота в тыс. м, $t$ — время в минутах, $k$ — угловой коэффициент (скорость изменения высоты), $b$ — начальная высота.

Из условия известно, что снижение началось с высоты 8500 м, что составляет 8,5 тыс. м. Это значит, что в момент времени $t=0$, высота $h(0) = 8,5$. Таким образом, коэффициент $b=8,5$.

Уравнение принимает вид: $h(t) = kt + 8,5$.

Чтобы найти коэффициент $k$, воспользуемся данными с графика. Выберем точку, которая, по-видимому, хорошо отражает общую тенденцию. Возьмем точку в конце наблюдаемого интервала, при $t=20$ мин. Судя по графику, высота в этот момент составляет примерно $h=2,4$ тыс. м. Получаем точку $(20; 2,4)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой для нахождения $k$:

$2,4 = k \cdot 20 + 8,5$

$20k = 2,4 - 8,5$

$20k = -6,1$

$k = -\frac{6,1}{20} = -0,305$

Таким образом, зависимость высоты от времени можно описать уравнением: $h(t) = -0,305t + 8,5$.

Шаг 2. Определение времени снижения.

Снижение самолета заканчивается, когда его высота становится равной нулю, то есть $h(t) = 0$.

$0 = -0,305t + 8,5$

$0,305t = 8,5$

$t = \frac{8,5}{0,305} \approx 27,87$ мин.

Округлив, получим, что снижение длилось примерно 28 минут.

Шаг 3. Определение средней скорости снижения.

Средняя скорость снижения соответствует модулю углового коэффициента $k$ нашей прямой. Коэффициент $k = -0,305$ тыс. м/мин.

Переведем эту величину в м/мин:

Скорость изменения высоты = $-0,305 \times 1000 = -305$ м/мин.

Средняя скорость снижения — это положительная величина, равная модулю скорости изменения высоты: $|-305| = 305$ м/мин.

Ответ: Снижение самолета длилось примерно 28 минут, а средняя скорость снижения составляла примерно 305 м/мин.