Страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

прямую, вокруг которой укладываются эти точки. Определите, сколько примерно минут длилось снижение самолёта и какова была средняя скорость снижения $(в \text{ м/мин})$.

811 На графике (рис. 5.48) показаны данные о числе туристов, для которых фирма «Отпуск» организовала путешествие за период с 2010 по 2018 г. Перечертите этот график в тетрадь и проведите прямую, аппроксимирующую эти данные. Если эта тенденция сохранится, то сколько путешествий можно ожидать в 2021 г.?

Рис. 5.48

Решение

Задача состоит в том, чтобы на основе данных о числе туристов, представленных на графике, провести аппроксимирующую прямую (линию тренда) и, исходя из этой тенденции, спрогнозировать количество путешествий в 2021 году.

1. Анализ данных на графике.

В условии указан период с 2010 по 2018 год, однако точки на графике соответствуют годам с 2011 по 2019. Будем исходить из данных, представленных на графике. Считаем координаты каждой точки (год; количество туристов в тыс. чел.):

• (2011; 1,7)
• (2012; 1,7)
• (2013; 2,0)
• (2014; 1,5)
• (2015; 2,0)
• (2016; 2,5)
• (2017; 2,5)
• (2018; 2,8)
• (2019; 3,0)

Наблюдается общая тенденция к росту числа туристов с течением времени.

2. Построение аппроксимирующей прямой.

Аппроксимирующая прямая (линия тренда) — это прямая, которая наилучшим образом отражает общую тенденцию в данных. Её нужно провести так, чтобы она проходила как можно ближе к точкам, а сами точки располагались примерно равномерно по обе стороны от неё.

Для нахождения уравнения этой прямой выберем две точки, которые, по нашему мнению, лежат на этой линии. Визуально определим, что хорошая линия тренда может проходить, например, через точки $P_1(2012; 1,8)$ и $P_2(2018; 2,8)$. Эти точки хорошо отражают общую динамику роста.

3. Нахождение уравнения прямой и прогноз.

Пусть $t$ — это год, а $N$ — число туристов в тысячах. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(t_1, N_1)$ и $(t_2, N_2)$, можно найти, вычислив сначала угловой коэффициент (скорость роста) $m$:

$m = \frac{N_2 - N_1}{t_2 - t_1} = \frac{2,8 - 1,8}{2018 - 2012} = \frac{1,0}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь используем уравнение прямой в форме "с угловым коэффициентом и через точку": $N - N_1 = m(t - t_1)$.

$N - 1,8 = \frac{1}{6}(t - 2012)$

Отсюда получаем уравнение нашей аппроксимирующей прямой:

$N(t) = \frac{1}{6}(t - 2012) + 1,8$

Теперь мы можем сделать прогноз на 2021 год, подставив $t = 2021$ в полученное уравнение:

$N(2021) = \frac{1}{6}(2021 - 2012) + 1,8 = \frac{1}{6}(9) + 1,8 = 1,5 + 1,8 = 3,3$

Таким образом, прогнозируемое число туристов в 2021 году составляет 3,3 тысячи человек.

Поскольку вопрос стоит о количестве путешествий и предполагается, что один турист совершает одно путешествие, то ожидаемое количество путешествий равно $3,3 \times 1000 = 3300$.

Ответ: Если существующая тенденция сохранится, в 2021 году можно ожидать примерно 3300 путешествий.