Страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

823 Известно, что точка $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2})$ принадлежит графику функции $y=\frac{k}{x}$. Найдите значение k. Принадлежит ли этому графику точка $(\sqrt{2}; -\frac{3\sqrt{2}}{2})? (\frac{3\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2})? (2\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})?$

Найдите значение k.

Уравнение функции имеет вид $y = \frac{k}{x}$. По условию, точка с координатами $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2})$ принадлежит графику этой функции. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $y = \sqrt{2}$ в уравнение функции, чтобы найти $k$. Из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что $k = x \cdot y$.

Вычислим $k$:

$k = (-\frac{3\sqrt{2}}{2}) \cdot \sqrt{2} = -\frac{3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2} = -\frac{3 \cdot 2}{2} = -3$

Таким образом, мы нашли значение коэффициента $k$. Уравнение функции: $y = -\frac{3}{x}$.

Ответ: $k = -3$.

Принадлежит ли этому графику точка $(\sqrt{2}; -\frac{3\sqrt{2}}{2})$?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции $y = -\frac{3}{x}$, нужно подставить ее координаты в уравнение. Если получится верное равенство, точка принадлежит графику. Это эквивалентно проверке равенства $x \cdot y = k$, то есть $x \cdot y = -3$.

Проверим произведение координат для точки с $x = \sqrt{2}$ и $y = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$:

$x \cdot y = \sqrt{2} \cdot (-\frac{3\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{3 \cdot 2}{2} = -3$

Поскольку произведение координат равно $-3$, точка принадлежит графику.

Ответ: Да, принадлежит.

Принадлежит ли этому графику точка $(\frac{3\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2})$?

Проверим произведение координат $x \cdot y$ для точки с $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $y = \sqrt{2}$:

$x \cdot y = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Так как $3 \neq -3$, точка не принадлежит графику.

Ответ: Нет, не принадлежит.

Принадлежит ли этому графику точка $(2\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$?

Проверим произведение координат $x \cdot y$ для точки с $x = 2\sqrt{3}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$x \cdot y = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = -\frac{2 \cdot 3}{2} = -3$

Так как произведение координат равно $-3$, точка принадлежит графику функции.

Ответ: Да, принадлежит.

824 Найдите координаты точек, в которых гипербола $y = \frac{12}{x}$ пересекается с прямой:

а) $y = 0,5$;

б) $y = -0,3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения гиперболы и прямой, необходимо приравнять их уравнения, так как в точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают. Мы получим систему уравнений, которую нужно решить.

а) Найдём точку пересечения гиперболы $y = \frac{12}{x}$ и прямой $y = 0,5$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{12}{x} \\ y = 0,5 \end{cases} $

Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$0,5 = \frac{12}{x}$

Чтобы найти $x$, выразим его из этого уравнения. Так как $x$ находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Умножим обе части на $x$:

$0,5x = 12$

Теперь разделим обе части на $0,5$:

$x = \frac{12}{0,5} = 24$

Координата $y$ уже известна из уравнения прямой: $y = 0,5$.

Следовательно, координаты точки пересечения: $(24; 0,5)$.

Ответ: $(24; 0,5)$.

б) Найдём точку пересечения гиперболы $y = \frac{12}{x}$ и прямой $y = -0,3$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{12}{x} \\ y = -0,3 \end{cases} $

Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$-0,3 = \frac{12}{x}$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$-0,3x = 12$

Разделим обе части на $-0,3$:

$x = \frac{12}{-0,3} = -40$

Координата $y$ известна: $y = -0,3$.

Следовательно, координаты точки пересечения: $(-40; -0,3)$.

Ответ: $(-40; -0,3)$.

825 Найдите координаты какой-нибудь точки, принадлежащей графику функции $y = \frac{5}{x}$ и находящейся от оси $x$ на расстоянии, меньшем чем 0,1; 0,01.

Условие задачи — найти координаты точки $(x, y)$, которая принадлежит графику функции $y = \frac{5}{x}$ и для которой расстояние до оси $x$ меньше заданного значения. Расстояние от точки $(x, y)$ до оси абсцисс (оси $x$) равно модулю её ординаты, то есть $|y|$.

находящейся от оси x на расстоянии, меньшем чем 0,1

Требуется найти точку $(x, y)$, для которой одновременно выполняются два условия: $y = \frac{5}{x}$ и $|y| < 0,1$.

Подставим выражение для $y$ из уравнения функции в неравенство: $|\frac{5}{x}| < 0,1$

Это неравенство можно переписать в виде $\frac{5}{|x|} < 0,1$. Так как по определению функции $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Мы можем решить неравенство относительно $|x|$: $5 < 0,1 \cdot |x|$ $|x| > \frac{5}{0,1}$ $|x| > 50$

Это означает, что абсцисса искомой точки по модулю должна быть больше 50. Выберем любое значение $x$, удовлетворяющее этому условию, например, $x = 100$.

Теперь найдем соответствующую ординату $y$: $y = \frac{5}{100} = 0,05$

Таким образом, одна из возможных точек — это $(100; 0,05)$. Проверим расстояние до оси $x$: $|y| = |0,05| = 0,05$. Это значение действительно меньше 0,1.

Ответ: например, точка с координатами $(100; 0,05)$.

находящейся от оси x на расстоянии, меньшем чем 0,01

Аналогично первому случаю, требуется найти точку $(x, y)$, для которой $y = \frac{5}{x}$ и $|y| < 0,01$.

Подставим $y$ в неравенство и решим его: $|\frac{5}{x}| < 0,01$ $\frac{5}{|x|} < 0,01$ $|x| > \frac{5}{0,01}$ $|x| > 500$

Абсцисса искомой точки по модулю должна быть больше 500. Выберем, например, $x = 1000$.

Найдем соответствующую ординату $y$: $y = \frac{5}{1000} = 0,005$

Координаты точки — $(1000; 0,005)$. Расстояние до оси $x$ равно $|y| = |0,005| = 0,005$, что меньше 0,01.

Ответ: например, точка с координатами $(1000; 0,005)$.

826 Пользуясь графиком на рисунке 5.49, определите, при каких значениях x:

a) $y > 4$

б) $y \ge -6$

в) $y < 3$

г) $y \le -3$

д) $-1 \le y \le 1$

Для решения задачи необходимо проанализировать предоставленный график функции. График является параболой с ветвями, направленными вниз. Из графика можно определить ключевые точки, например, вершину параболы. Вершина находится в точке $(2, 5)$. Также видно, что парабола проходит через точки $(0, 1)$ и $(4, 1)$. Это позволяет установить точное уравнение функции как $y = -(x - 2)^2 + 5$. Используя это уравнение, мы можем точно найти значения $x$ для заданных условий.

а)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $y > 4$, найдём на графике горизонтальную прямую $y = 4$. Нас интересуют те части параболы, которые лежат выше этой прямой. Точки пересечения графика с прямой $y = 4$ являются границами искомого интервала. Найдём их, решив уравнение:

$4 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 1$

$x - 2 = 1$ или $x - 2 = -1$

Отсюда получаем $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$.

График функции находится выше прямой $y=4$ между этими точками. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами точки не включаются в решение.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

б)

Найдём значения $x$, при которых $y \ge -6$. Проведём на графике горизонтальную прямую $y = -6$. Нас интересуют части параболы, лежащие на этой прямой или выше неё. Найдём точки пересечения:

$-6 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 11$

$x - 2 = \sqrt{11}$ или $x - 2 = -\sqrt{11}$

Отсюда $x_1 = 2 + \sqrt{11}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{11}$.

График функции находится выше или на прямой $y = -6$ на отрезке между этими точками. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граничные точки включаются.

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{11}; 2 + \sqrt{11}]$.

в)

Найдём значения $x$, при которых $y < 3$. Проведём прямую $y = 3$ и найдём точки пересечения с параболой:

$3 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 2$

$x - 2 = \sqrt{2}$ или $x - 2 = -\sqrt{2}$

Отсюда $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

График функции находится ниже прямой $y=3$ слева от точки $x = 2 - \sqrt{2}$ и справа от точки $x = 2 + \sqrt{2}$. Неравенство строгое (<), поэтому точки не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; \infty)$.

г)

Найдём значения $x$, при которых $y \le -3$. Проведём прямую $y = -3$ и найдём точки пересечения с графиком:

$-3 = -(x - 2)^2 + 5$

$(x - 2)^2 = 8$

$x - 2 = \sqrt{8}$ или $x - 2 = -\sqrt{8}$

Отсюда $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$.

График функции находится на прямой $y=-3$ или ниже неё левее точки $x = 2 - 2\sqrt{2}$ и правее точки $x = 2 + 2\sqrt{2}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}; \infty)$.

д)

Найдём значения $x$, при которых $-1 \le y \le 1$. Это соответствует участкам графика, заключённым между горизонтальными прямыми $y = -1$ и $y = 1$, включая сами прямые. Найдём точки пересечения графика с этими прямыми.

Для $y = 1$:

$1 = -(x - 2)^2 + 5 \implies (x - 2)^2 = 4 \implies x - 2 = \pm 2$. Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$.

Для $y = -1$:

$-1 = -(x - 2)^2 + 5 \implies (x - 2)^2 = 6 \implies x - 2 = \pm \sqrt{6}$. Получаем $x_3 = 2 + \sqrt{6}$ и $x_4 = 2 - \sqrt{6}$.

Интересующие нас участки графика находятся между $y=-1$ и $y=1$. Это два отдельных промежутка для $x$. Первый промежуток — от точки пересечения с $y=-1$ ($x = 2 - \sqrt{6}$) до точки пересечения с $y=1$ ($x=0$). Второй промежуток — от точки пересечения с $y=1$ ($x=4$) до точки пересечения с $y=-1$ ($x = 2 + \sqrt{6}$).

Ответ: $x \in [2 - \sqrt{6}; 0] \cup [4; 2 + \sqrt{6}]$.

827 a) Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком одну общую точку, если $f(x) = \begin{cases} x + 2 \text{ при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} \text{ при } x > 2. \end{cases}$

б) Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком две общие точки, если $f(x) = \begin{cases} -x - 1 \text{ при } x \le 2 \\ \frac{6}{x} \text{ при } x > 2. \end{cases}$

а)

Построим график функции $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

1. График функции $y=x+2$ при $x \le 2$ представляет собой луч. Для его построения найдем две точки. Крайняя точка луча соответствует $x=2$. При $x=2$, $y = 2+2=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=0+2=2$. Точка $(0, 2)$ также принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч, проходящий через точки $(0, 2)$ и $(2, 4)$, с началом в точке $(2, 4)$.

2. График функции $y=\frac{8}{x}$ при $x > 2$ представляет собой часть гиперболы, расположенной в первой координатной четверти. Найдем значение функции на границе области: при $x$, стремящемся к $2$ справа, $y$ стремится к $\frac{8}{2}=4$. Точка $(2, 4)$ является "начальной" точкой этой части графика, но она не включается (выколотая точка), так как неравенство строгое $x > 2$. Для большей точности найдем еще несколько точек: при $x=4$, $y=\frac{8}{4}=2$; при $x=8$, $y=\frac{8}{8}=1$. При увеличении $x$ значения $y$ стремятся к нулю, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

3. Совместим оба графика. Поскольку для первой части графика точка $(2, 4)$ является конечной, а для второй части она является выколотой начальной точкой, то в точке $(2, 4)$ графики стыкуются, образуя непрерывную линию. График $y=f(x)$ состоит из луча, идущего до точки $(2, 4)$, и ветви гиперболы, начинающейся в этой же точке.

Теперь определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая $y=a$ — это горизонтальная линия.

- Если прямая проходит через точку "стыка" $(2, 4)$, то есть при $a=4$, она имеет с графиком одну общую точку.

- Если прямая проходит ниже ветви гиперболы, то есть при $a \le 0$, она пересекает только луч $y=x+2$ в одной точке (так как ветвь гиперболы $y=8/x$ находится выше оси $Ox$, то есть $y>0$).

- Если прямая проходит между осью $Ox$ и линией $y=4$, то есть при $0 < a < 4$, она пересекает и луч, и ветвь гиперболы, то есть имеет две общие точки.

- Если прямая проходит выше точки "стыка", то есть при $a > 4$, она не имеет с графиком общих точек.

Следовательно, прямая $y=a$ имеет с графиком одну общую точку при $a=4$ и при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{4\}$.

б)

Построим график функции $f(x) = \begin{cases} -x-1 & \text{при } x \le 2 \\ -\frac{6}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

1. График функции $y=-x-1$ при $x \le 2$ представляет собой луч. Найдем его крайнюю точку: при $x=2$, $y=-2-1=-3$. Точка $(2, -3)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=-0-1=-1$. Точка $(0, -1)$ также принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч с началом в точке $(2, -3)$, проходящий через точку $(0, -1)$.

2. График функции $y=-\frac{6}{x}$ при $x > 2$ представляет собой часть гиперболы, расположенной в четвертой координатной четверти. Найдем значение функции на границе области: при $x$, стремящемся к $2$ справа, $y$ стремится к $-\frac{6}{2}=-3$. Точка $(2, -3)$ является выколотой начальной точкой для этой части графика. Найдем еще несколько точек: при $x=3$, $y=-\frac{6}{3}=-2$; при $x=6$, $y=-\frac{6}{6}=-1$. При увеличении $x$ значения $y$ стремятся к нулю, приближаясь к оси $Ox$ снизу.

3. Совместим оба графика. Точка $(2, -3)$ является конечной точкой для луча и выколотой начальной точкой для ветви гиперболы. Таким образом, график функции непрерывен. Он состоит из луча $y=-x-1$ до точки $(2, -3)$ и ветви гиперболы $y=-6/x$ после нее.

Теперь определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком ровно две общие точки.

- Если прямая проходит через точку "стыка" $(2, -3)$, то есть при $a=-3$, она имеет одну общую точку.

- Если прямая проходит ниже точки $(2, -3)$, то есть при $a < -3$, общих точек нет.

- Если прямая проходит выше точки "стыка", но ниже оси абсцисс, то есть при $-3 < a < 0$, она пересекает и луч $y=-x-1$, и ветвь гиперболы $y=-6/x$. В этом случае будет две общие точки.

- Если прямая совпадает с осью абсцисс или проходит выше, то есть при $a \ge 0$, она пересекает только луч $y=-x-1$ в одной точке (так как ветвь гиперболы $y=-6/x$ целиком лежит ниже оси $Ox$, то есть $y<0$).

Следовательно, прямая $y=a$ имеет с графиком две общие точки при $-3 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-3; 0)$.