Страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

836 Туристы ездили на экскурсию из города $A$ в город $B$. График движения экскурсионного автобуса изображён на рисунке 5.53. В какой из промежутков времени — первые два часа, следующие два часа или последние два часа поездки — скорость автобуса была наибольшей?

Ось Y: $s$, KM

Ось X: $t$, ч

Метки на графике: $A$, $B$

Рис. 5.53

Чтобы определить, в каком из промежутков времени скорость автобуса была наибольшей, необходимо рассчитать его среднюю скорость на каждом из указанных участков. Скорость ($v$) вычисляется как отношение пройденного расстояния ($\Delta s$) ко времени ($\Delta t$), за которое это расстояние было пройдено:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Проанализируем график для каждого из трех интересующих нас временных интервалов.

первые два часа

Этот интервал соответствует времени от $t_0 = 0$ ч до $t_1 = 2$ ч.
В начальный момент времени расстояние от города А было $s_0 = 0$ км.
Через 2 часа, согласно графику, автобус находился на расстоянии $s_1 = 100$ км от города А.
Пройденное расстояние за этот интервал: $\Delta s_1 = s_1 - s_0 = 100 - 0 = 100$ км.
Затраченное время: $\Delta t_1 = t_1 - t_0 = 2 - 0 = 2$ ч.
Скорость на этом участке: $v_1 = \frac{\Delta s_1}{\Delta t_1} = \frac{100 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 50$ км/ч.

следующие два часа

Этот интервал соответствует времени от $t_1 = 2$ ч до $t_2 = 4$ ч.
В момент времени $t_1 = 2$ ч автобус находился на отметке $s_1 = 100$ км.
В момент времени $t_2 = 4$ ч автобус достиг отметки $s_2 = 250$ км.
Пройденное расстояние за этот интервал: $\Delta s_2 = s_2 - s_1 = 250 - 100 = 150$ км.
Затраченное время: $\Delta t_2 = t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$ ч.
Скорость на этом участке: $v_2 = \frac{\Delta s_2}{\Delta t_2} = \frac{150 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 75$ км/ч.

последние два часа поездки

Вся поездка, судя по графику, длилась 10 часов. Следовательно, последние два часа — это интервал с $t_3 = 8$ ч до $t_4 = 10$ ч. В этот период автобус возвращался в город А.
В момент времени $t_3 = 8$ ч автобус находился на расстоянии $s_3 = 250$ км от города А.
В конце поездки, в $t_4 = 10$ ч, он вернулся в город А, то есть $s_4 = 0$ км.
Пройденное расстояние за этот интервал (независимо от направления): $\Delta s_3 = |s_4 - s_3| = |0 - 250| = 250$ км.
Затраченное время: $\Delta t_3 = t_4 - t_3 = 10 - 8 = 2$ ч.
Скорость на этом участке: $v_3 = \frac{\Delta s_3}{\Delta t_3} = \frac{250 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 125$ км/ч.

Сравнив полученные скорости на трех участках ($v_1 = 50$ км/ч, $v_2 = 75$ км/ч и $v_3 = 125$ км/ч), мы видим, что наибольшая скорость была в последние два часа поездки.
Это также можно определить и визуально: скорость на графике зависимости расстояния от времени представлена углом наклона (крутизной) линии. Чем круче линия, тем выше скорость. Участок графика с 8 до 10 часов имеет самый крутой наклон.

Ответ: Наибольшей скорость автобуса была в последние два часа поездки.

837 На шоссе, ведущем в гору, через каждые 5 км установлен знак с отметкой высоты над уровнем моря. В таблице приведены данные на первые 20 км этой дороги.

а) Отметьте указанные точки в координатной плоскости.

б) Укажите промежутки, на которых высота растёт; не изменяется; снижается.

в) На каком участке шоссе высота над уровнем моря увеличивается с наибольшей скоростью? Какова средняя скорость её увеличения на этом участке (число метров на каждый кило-метр пути)?

а)

Данные из таблицы можно представить в виде координат точек $(x; y)$, где $x$ — расстояние от начала подъёма в км, а $y$ — высота над уровнем моря в м. Чтобы отметить эти точки в координатной плоскости, необходимо начертить оси координат, выбрать подходящий масштаб и нанести следующие точки:

• $(0; 685)$
• $(5; 688)$
• $(10; 688)$
• $(15; 695)$
• $(20; 690)$

На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается расстояние в км, а на вертикальной оси (оси ординат) — высота в м.

Ответ: В координатной плоскости необходимо отметить точки $(0; 685)$, $(5; 688)$, $(10; 688)$, $(15; 695)$, $(20; 690)$.

б)

Проанализируем изменение высоты на каждом 5-километровом участке:

• На промежутке от 0 км до 5 км высота изменилась с 685 м до 688 м. Так как $688 > 685$, высота растёт.
• На промежутке от 5 км до 10 км высота осталась равной 688 м. Так как $688 = 688$, высота не изменяется.
• На промежутке от 10 км до 15 км высота изменилась с 688 м до 695 м. Так как $695 > 688$, высота растёт.
• На промежутке от 15 км до 20 км высота изменилась с 695 м до 690 м. Так как $690 < 695$, высота снижается.

Ответ: Высота растёт на промежутках [0 км; 5 км] и [10 км; 15 км]; не изменяется на промежутке [5 км; 10 км]; снижается на промежутке [15 км; 20 км].

в)

Средняя скорость увеличения высоты — это отношение изменения высоты к длине участка. Рассчитаем эту величину для участков, где высота росла.

1. Участок от 0 км до 5 км:

Изменение высоты: $\Delta h_1 = 688\text{ м} - 685\text{ м} = 3\text{ м}$.

Длина участка: $\Delta l_1 = 5\text{ км} - 0\text{ км} = 5\text{ км}$.

Средняя скорость увеличения: $v_1 = \frac{\Delta h_1}{\Delta l_1} = \frac{3\text{ м}}{5\text{ км}} = 0,6\text{ м/км}$.

2. Участок от 10 км до 15 км:

Изменение высоты: $\Delta h_2 = 695\text{ м} - 688\text{ м} = 7\text{ м}$.

Длина участка: $\Delta l_2 = 15\text{ км} - 10\text{ км} = 5\text{ км}$.

Средняя скорость увеличения: $v_2 = \frac{\Delta h_2}{\Delta l_2} = \frac{7\text{ м}}{5\text{ км}} = 1,4\text{ м/км}$.

Сравнивая полученные скорости, видим, что $1,4\text{ м/км} > 0,6\text{ м/км}$.

Таким образом, наибольшая скорость увеличения высоты наблюдается на участке от 10 км до 15 км.

Ответ: Высота увеличивается с наибольшей скоростью на участке шоссе от 10 км до 15 км. Средняя скорость её увеличения на этом участке составляет 1,4 м/км.

838 Два спортсмена, Пётр и Иван, во время тренировки пробежали 20 км. Графики их бега представлены на рисунке 5.54. Используя графики, определите:

а) на сколько меньше времени затратил на всю дистанцию Иван;

б) сколько километров пробежал каждый из них за 30 мин тренировки; за 50 мин тренировки;

в) кто из них бежал быстрее на отрезке дистанции от 8-го до 16-го километра;

г) кто из них бежал быстрее в течение второго получаса тренировки;

д) какова была средняя скорость каждого спортсмена на дистанции (выразите её в м/мин).

Рис. 5.54

а) на сколько меньше времени затратил на всю дистанцию Иван;

Чтобы определить время, которое каждый спортсмен затратил на всю дистанцию в 20 км, найдём на графике точки, соответствующие $s = 20$ км для каждого из них.
1. Для Петра (чёрная линия) точка с ординатой $s = 20$ км имеет абсциссу $t = 90$ мин. Таким образом, Пётр пробежал дистанцию за 90 минут.
2. Для Ивана (синяя линия) точка с ординатой $s = 20$ км имеет абсциссу $t = 75$ мин. Таким образом, Иван пробежал дистанцию за 75 минут.
3. Найдём разницу во времени: $90 \text{ мин} - 75 \text{ мин} = 15 \text{ мин}$.
Ответ: Иван затратил на 15 минут меньше времени, чем Пётр.

б) сколько километров пробежал каждый из них за 30 мин тренировки; за 50 мин тренировки;

Найдём на оси времени точки $t = 30$ мин и $t = 50$ мин и определим соответствующее им расстояние для каждого спортсмена.
1. За 30 минут:
- Пётр (чёрная линия): при $t = 30$ мин, расстояние $s = 8$ км.
- Иван (синяя линия): при $t = 30$ мин, расстояние $s = 4$ км.
2. За 50 минут:
- Пётр (чёрная линия): при $t = 50$ мин, расстояние $s = 12$ км.
- Иван (синяя линия): при $t = 50$ мин, расстояние $s = 12$ км.
Ответ: За 30 минут Пётр пробежал 8 км, а Иван — 4 км. За 50 минут оба спортсмена пробежали по 12 км.

в) кто из них бежал быстрее на отрезке дистанции от 8-го до 16-го километра;

Чтобы определить, кто бежал быстрее, нужно сравнить время, которое каждый из них потратил на прохождение этого отрезка дистанции.
1. Пётр (чёрная линия):
- Расстояние 8 км он пробежал за 30 мин.
- Расстояние 16 км он пробежал за 60 мин.
- Время на отрезок: $60 \text{ мин} - 30 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$.
2. Иван (синяя линия):
- Расстояние 8 км он пробежал за 40 мин.
- Расстояние 16 км он пробежал за 60 мин.
- Время на отрезок: $60 \text{ мин} - 40 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.
Иван затратил на этот отрезок меньше времени, следовательно, он бежал быстрее.
Ответ: На отрезке дистанции от 8-го до 16-го километра быстрее бежал Иван.

г) кто из них бежал быстрее в течение второго получаса тренировки;

Второй получас тренировки — это временной интервал от $t = 30$ мин до $t = 60$ мин. Чтобы определить, кто бежал быстрее, сравним расстояние, которое каждый из них пробежал за этот промежуток времени.
1. Пётр (чёрная линия):
- К 30-й минуте пробежал 8 км.
- К 60-й минуте пробежал 16 км.
- За второй получас пробежал: $16 \text{ км} - 8 \text{ км} = 8 \text{ км}$.
2. Иван (синяя линия):
- К 30-й минуте пробежал 4 км.
- К 60-й минуте пробежал 16 км.
- За второй получас пробежал: $16 \text{ км} - 4 \text{ км} = 12 \text{ км}$.
Иван пробежал большее расстояние за тот же промежуток времени, следовательно, он бежал быстрее.
Ответ: В течение второго получаса тренировки быстрее бежал Иван.

д) какова была средняя скорость каждого спортсмена на дистанции (выразите её в м/мин).

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S}{t}$, где $S$ — общая дистанция, а $t$ — общее время.
Общая дистанция $S = 20 \text{ км} = 20 \cdot 1000 \text{ м} = 20000 \text{ м}$.
1. Средняя скорость Петра:
- Общее время $t_{Пётр} = 90$ мин.
- $v_{ср.Петра} = \frac{20000 \text{ м}}{90 \text{ мин}} = \frac{2000}{9} \text{ м/мин} \approx 222,2$ м/мин.
2. Средняя скорость Ивана:
- Общее время $t_{Иван} = 75$ мин.
- $v_{ср.Ивана} = \frac{20000 \text{ м}}{75 \text{ мин}} = \frac{800}{3} \text{ м/мин} \approx 266,7$ м/мин.
Ответ: Средняя скорость Петра была $\frac{2000}{9}$ м/мин (приблизительно 222,2 м/мин), а средняя скорость Ивана — $\frac{800}{3}$ м/мин (приблизительно 266,7 м/мин).