Страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

7 Постройте график функции:

а) $y = -\frac{1}{3}x$;

б) $y = 1.5x + 6$;

в) $y = -0.5x + 1.$

Для построения графика каждой из предложенных линейных функций необходимо найти координаты как минимум двух точек, через которые проходит прямая.

Данная функция является частным случаем линейной функции ($y = kx$), которая называется прямой пропорциональностью. График такой функции — это прямая, проходящая через начало координат, точку $(0, 0)$.

Для построения графика найдем координаты еще одной точки. Для удобства вычислений выберем значение $x$, кратное 3.
Пусть $x = 3$. Тогда $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$.
Таким образом, мы имеем две точки: $(0, 0)$ и $(3, -1)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Так как угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$ отрицательный, функция является убывающей.
Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат, точку $(0, 0)$, и точку $(3, -1)$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$. Ее график — прямая линия. Для построения найдем точки пересечения этой прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$:
$y = 1,5 \cdot 0 + 6 = 6$.
Получили точку $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$:
$0 = 1,5x + 6$
$1,5x = -6$
$x = \frac{-6}{1,5} = -4$.
Получили точку $(-4, 0)$.

Теперь отметим точки $(0, 6)$ и $(-4, 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Так как угловой коэффициент $k = 1,5$ положительный, функция является возрастающей.
Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(-4, 0)$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, ее график — прямая. Найдем две точки для ее построения, например, точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = -0,5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Получили точку $(0, 1)$.

2. Точка пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$):
$0 = -0,5x + 1$
$0,5x = 1$
$x = \frac{1}{0,5} = 2$.
Получили точку $(2, 0)$.

Отметим точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$ на координатной плоскости и соединим их прямой. Так как угловой коэффициент $k = -0,5$ отрицательный, функция является убывающей.
Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$.

8 Постройте график функции $y = -2x - 0.5$ и ответьте на вопросы:

a) При каких значениях x значения функции равны 0? больше 0? меньше 0?

б) Возрастающей или убывающей является функция?

Данная функция $y = -2x - 0,5$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

Составим таблицу значений:
1. Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 - 0,5 = -0,5$. Получаем точку $(0; -0,5)$.
2. Если $x = -1$, то $y = -2 \cdot (-1) - 0,5 = 2 - 0,5 = 1,5$. Получаем точку $(-1; 1,5)$.

Отметив эти две точки на координатной плоскости и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = -2x - 0,5$.

а) При каких значениях x значения функции равны 0? больше 0? меньше 0?

Чтобы ответить на эти вопросы, решим соответствующее уравнение и неравенства.

1. Найдем, при каком $x$ значение функции равно 0 ($y=0$):
$-2x - 0,5 = 0$
$-2x = 0,5$
$x = \frac{0,5}{-2}$
$x = -0,25$
Значение функции равно 0 при $x = -0,25$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

2. Найдем, при каких $x$ значение функции больше 0 ($y>0$):
$-2x - 0,5 > 0$
$-2x > 0,5$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -0,25$
Значения функции больше 0 при $x \in (-\infty; -0,25)$.

3. Найдем, при каких $x$ значение функции меньше 0 ($y<0$):
$-2x - 0,5 < 0$
$-2x < 0,5$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -0,25$
Значения функции меньше 0 при $x \in (-0,25; +\infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=-0,25$; $y>0$ при $x < -0,25$; $y<0$ при $x > -0,25$.

б) Возрастающей или убывающей является функция?

Функция $y = -2x - 0,5$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ определяет, является ли функция возрастающей или убывающей.
В данном случае угловой коэффициент $k = -2$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении значения $x$ соответствующее значение $y$ будет уменьшаться.

Ответ: функция является убывающей.

9 Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$.

а) Укажите область определения этой функции.

б) При каких значениях $x$ значения функции больше нуля? меньше нуля?

в) Возрастает или убывает функция при $x < 0$? при $x > 0$?

Данная функция $y=\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=6>0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика, то есть кривая будет бесконечно приближаться к ним, но никогда не пересечет.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их двумя плавными линиями (ветвями гиперболы), которые приближаются к осям координат.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В функции $y=\frac{6}{x}$ присутствует деление на переменную $x$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Все остальные действительные числа являются допустимыми значениями для $x$.
Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме 0. В виде промежутков это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Чтобы определить, при каких значениях $x$ значения функции больше нуля, решим неравенство $y > 0$, то есть $\frac{6}{x} > 0$. Так как числитель $6$ является положительным числом, дробь будет положительной только в том случае, если знаменатель $x$ также положителен. Следовательно, $y>0$ при $x > 0$.
Чтобы определить, при каких значениях $x$ значения функции меньше нуля, решим неравенство $y < 0$, то есть $\frac{6}{x} < 0$. Так как числитель $6$ положителен, дробь будет отрицательной только в том случае, если знаменатель $x$ отрицателен. Следовательно, $y<0$ при $x < 0$.
Ответ: значения функции больше нуля при $x \in (0; +\infty)$; значения функции меньше нуля при $x \in (-\infty; 0)$.

в) Чтобы определить, возрастает или убывает функция, рассмотрим два промежутка из области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Функция вида $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.
Рассмотрим промежуток $x < 0$. Возьмем два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \frac{6}{-2} = -3$ и $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Так как $x_1 < x_2$, а $y_1 > y_2$, то функция убывает.
Рассмотрим промежуток $x > 0$. Возьмем два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \frac{6}{2} = 3$ и $y_2 = \frac{6}{3} = 2$. Так как $x_1 < x_2$, а $y_1 > y_2$, то функция также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

10 Постройте график функции $f(x) = -\frac{8}{x}$. С помощью графика найдите приближённо:

а) $f(3), f(-6)$;

б) значение $x$, при котором $f(x) = 5, f(x) = -7$.

Для построения графика функции $f(x) = -\frac{8}{x}$ сначала определим его вид и расположение. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k = -8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим график функции. Теперь используем этот построенный график для нахождения приближенных значений.

а) Чтобы найти значение $f(3)$, находим на оси абсцисс точку $x = 3$. Восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком в IV четверти. От точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат. Точка на оси $y$ будет соответствовать значению функции. По графику это значение примерно равно $-2.7$.
Аналогично, для $f(-6)$ находим на оси $x$ точку $x=-6$. Поднимаем перпендикуляр до пересечения с графиком во II четверти и от точки пересечения проводим горизонталь к оси $y$. По графику это значение примерно равно $1.3$.
Для проверки: $f(3) = -8/3 \approx -2.67$; $f(-6) = -8/(-6) \approx 1.33$.
Ответ: $f(3) \approx -2.7$, $f(-6) \approx 1.3$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x)=5$, находим на оси ординат точку $y=5$. Проводим горизонтальную прямую $y=5$ до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и находим соответствующее значение $x$. По графику $x \approx -1.6$.
Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x)=-7$, находим на оси ординат точку $y=-7$. Проводим прямую $y=-7$ до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси абсцисс. По графику $x \approx 1.1$.
Для проверки: если $5 = -8/x$, то $x = -8/5 = -1.6$; если $-7 = -8/x$, то $x = 8/7 \approx 1.14$.
Ответ: при $f(x)=5$, $x \approx -1.6$; при $f(x)=-7$, $x \approx 1.1$.

1 Расстояние между городами 800 км. Поезд идёт из одного города в другой со средней скоростью 70 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния s (в км), которое поезду осталось пройти, от времени движения t (в ч).

$s = 800 - 70t$

1.

Для того чтобы задать формулой зависимость расстояния $s$ (в км), которое поезду осталось пройти, от времени движения $t$ (в ч), необходимо определить, как эти величины связаны между собой.

1. Сначала определим расстояние, которое поезд уже проехал за время $t$. Это расстояние равно произведению средней скорости поезда на время движения.
Средняя скорость поезда: $v = 70$ км/ч.
Время движения: $t$ ч.
Пройденное расстояние: $d_{пройденное} = v \cdot t = 70t$ км.

2. Теперь найдем расстояние $s$, которое поезду осталось пройти. Для этого нужно из общего расстояния между городами вычесть то расстояние, которое поезд уже преодолел.
Общее расстояние: $S_{

2 Автобус отправился из города в посёлок и вернулся обратно, сделав в посёлке остановку на один час. Какой из графиков описывает зависимость пройденного автобусом расстояния от времени движения?

1

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

2

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

3

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

4

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как изменяется пройденное автобусом расстояние с течением времени. Весь путь можно разделить на три этапа:

1. Движение из города в посёлок.
2. Остановка в посёлке.
3. Возвращение из посёлка в город.

График зависимости пройденного расстояния ($s$) от времени ($t$) должен отражать эти три этапа.

• На первом этапе автобус движется, поэтому пройденное расстояние увеличивается. На графике это будет восходящий отрезок прямой (если скорость постоянна).
• На втором этапе автобус стоит на месте в течение одного часа. В это время пройденное расстояние не изменяется. На графике это будет горизонтальный отрезок длиной в одну единицу по оси времени ($t$).
• На третьем этапе автобус снова движется, возвращаясь обратно. Пройденное расстояние — это общая длина пути, которую проехал автобус, поэтому оно продолжает увеличиваться. Оно не может уменьшаться, так как автобус не движется в обратную сторону по шкале пройденного пути. Этот этап на графике также будет восходящим отрезком.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных графиков:

① На этом графике пройденное расстояние сначала увеличивается, а затем уменьшается. Уменьшение пройденного расстояния невозможно, так как это скалярная величина, которая только накапливается. Этот график мог бы описывать зависимость расстояния *от города* от времени, но не общее пройденное расстояние. Следовательно, этот график не подходит.

② На этом графике пройденное расстояние постоянно увеличивается. Здесь отсутствует горизонтальный участок, который соответствовал бы часовой остановке. Следовательно, этот график не подходит.

③ На этом графике есть восходящий участок, затем горизонтальный, а затем нисходящий. Горизонтальный участок от $t=2$ до $t=3$ соответствует остановке длительностью $3 - 2 = 1$ час. Однако, как и в первом случае, нисходящий участок означает уменьшение пройденного расстояния, что неверно. Следовательно, этот график не подходит.

④ Этот график состоит из трех частей:

• С $t=0$ до $t=2$ часов пройденное расстояние растет с 0 до 70 км (путь из города в посёлок).
• С $t=2$ до $t=3$ часов пройденное расстояние остается постоянным и равным 70 км. Это соответствует остановке продолжительностью $3 - 2 = 1$ час.
• С $t=3$ до $t=6$ часов пройденное расстояние снова растет, с 70 км до 140 км (возвращение в город). Общее пройденное расстояние увеличилось на 70 км, что равно расстоянию от посёлка до города.

Этот график полностью соответствует условию задачи.

Ответ: График №4.