Страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 В таблице приведены данные температуры воздуха 10 апреля в городе Грибове.

Время, ч 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Температура, $^\circ\text{C}$ 1 0 -2 -3 -2 0 6 10 10 7 4 3 2

Постройте график температуры и определите:

а) в какое время суток температура равнялась $0\;^\circ\text{C}$;

б) в какое время суток температура возрастала; убывала; была положительной; была отрицательной;

в) каково максимальное значение температуры, каково её минимальное значение;

г) в каких границах менялась температура в течение суток;

д) чему равнялась температура в 17 ч;

е) в какое время суток температура равнялась $8\;^\circ\text{C}$.

Для решения задачи построим воображаемый график, откладывая по горизонтальной оси (оси абсцисс) время в часах, а по вертикальной оси (оси ординат) — температуру в градусах Цельсия. Точки, соответствующие данным из таблицы, соединим отрезками прямых. Полученная ломаная линия и будет являться графиком изменения температуры. Ответы на вопросы найдём, анализируя таблицу и построенный график.

а) в какое время суток температура равнялась 0 °C;

Находим в строке "Температура, °C" значение $0$. Из таблицы видно, что это значение встречается дважды. Смотрим соответствующие значения в строке "Время, ч".

Ответ: в 2 ч и в 10 ч.

б) в какое время суток температура возрастала; убывала; была положительной; была отрицательной;

Проанализируем данные таблицы последовательно:

• Температура возрастала на тех участках, где график идёт вверх. Это соответствует увеличению значений температуры в таблице. Температура растет от $-3$ °C в 6 ч до $10$ °C в 14 ч.
• Температура убывала на тех участках, где график идёт вниз. Это соответствует уменьшению значений температуры. Это происходит в двух промежутках: с 0 ч ($1$ °C) до 6 ч ($-3$ °C) и с 16 ч ($10$ °C) до 24 ч ($2$ °C).
• Температура была положительной, когда её значение было больше нуля ($T > 0$ °C), то есть график находился выше оси времени. Это было в начале суток (в 0 ч температура была $1$ °C) до момента, когда она стала равна нулю (в 2 ч). Затем снова после 10 ч и до конца суток.
• Температура была отрицательной, когда её значение было меньше нуля ($T < 0$ °C), то есть график находился ниже оси времени. Это было в промежутке между 2 ч и 10 ч.

Ответ: температура возрастала в промежутке с 6 ч до 14 ч; убывала в промежутках с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч; была положительной в промежутках [0 ч, 2 ч) и (10 ч, 24 ч]; была отрицательной в промежутке (2 ч, 10 ч).

в) каково максимальное значение температуры, каково её минимальное значение;

Максимальное значение — это самая высокая точка на графике, а минимальное — самая низкая. Найдём наибольшее и наименьшее значения в строке "Температура, °C".

Ответ: максимальное значение температуры $10$ °C, минимальное значение $-3$ °C.

г) в каких границах менялась температура в течение суток;

Границы изменения температуры определяются её минимальным и максимальным значениями за весь период наблюдений.

Ответ: температура менялась в границах от $-3$ °C до $10$ °C.

д) чему равнялась температура в 17 ч;

Время 17 ч находится на отрезке между 16 ч и 18 ч. Температура в 16 ч была $10$ °C, а в 18 ч — $7$ °C. Так как мы соединяем точки прямыми, изменение температуры на этом участке было равномерным. 17 ч — это середина временного интервала [16 ч, 18 ч], поэтому температура в это время будет равна среднему арифметическому температур на концах интервала.

$T_{17ч} = \frac{10 \text{ °C} + 7 \text{ °C}}{2} = \frac{17}{2} \text{ °C} = 8.5 \text{ °C}$

Ответ: в 17 ч температура равнялась $8.5$ °C.

е) в какое время суток температура равнялась 8 °С.

Значение $8$ °C находится между $6$ °C и $10$ °C, а также между $10$ °C и $7$ °C. Следовательно, температура достигала $8$ °C дважды: один раз при возрастании, другой — при убывании.

1. На интервале возрастания [12 ч, 14 ч]:
   Температура поднялась с $6$ °C до $10$ °C, то есть на $4$ °C за 2 часа. Скорость роста: $\frac{4 \text{ °C}}{2 \text{ ч}} = 2$ °C/ч. Чтобы достичь $8$ °C от $6$ °C, требуется подъём на $8 - 6 = 2$ °C. Необходимое время: $\frac{2 \text{ °C}}{2 \text{ °C/ч}} = 1$ час. Таким образом, это произошло через 1 час после 12 ч, то есть в 13:00.
2. На интервале убывания [16 ч, 18 ч]:
   Температура опустилась с $10$ °C до $7$ °C, то есть на $3$ °C за 2 часа. Скорость убывания: $\frac{3 \text{ °C}}{2 \text{ ч}} = 1.5$ °C/ч. Чтобы достичь $8$ °C от $10$ °C, требуется понижение на $10 - 8 = 2$ °C. Необходимое время: $\frac{2 \text{ °C}}{1.5 \text{ °C/ч}} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$ часа. $\frac{4}{3}$ часа = $1 \frac{1}{3}$ часа = 1 час и 20 минут. Таким образом, это произошло через 1 час 20 минут после 16 ч, то есть в 17:20.

Ответ: температура равнялась $8$ °C в 13:00 и в 17:20.

2 Функция задана формулой $y = x^2 - 4$.

a) Найдите значение функции при $x = 0$; $-3$.

б) При каких значениях $x$ значение функции равно $-3$?

Дана функция, заданная формулой $y = x^2 - 4$.

а) Найдите значение функции при x = 0; -3.

Чтобы найти значение функции (y) при заданном значении аргумента (x), необходимо подставить это значение $x$ в формулу функции.

1. При $x = 0$:

$y = 0^2 - 4 = 0 - 4 = -4$

2. При $x = -3$:

$y = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

Ответ: при $x=0$ значение функции равно $-4$; при $x=-3$ значение функции равно $5$.

б) При каких значениях x значение функции равно -3?

Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых значение функции ($y$) равно $-3$, нужно приравнять выражение для функции к $-3$ и решить полученное уравнение.

Составим уравнение:

$x^2 - 4 = -3$

Для решения уравнения перенесем число $-4$ в правую часть с противоположным знаком:

$x^2 = -3 + 4$

$x^2 = 1$

Это квадратное уравнение, которое имеет два корня, так как 1 можно представить и как $1^2$, и как $(-1)^2$.

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Ответ: значение функции равно $-3$ при $x = 1$ и $x = -1$.

3 Функция задана формулой $f(x) = 2x - 5$.

a) Найдите $f(0)$, $f(-1.5)$.

б) Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 18$; $f(x) = 0$.

Дана функция, заданная формулой $f(x) = 2x - 5$.

a) Чтобы найти значения функции $f(0)$ и $f(-1,5)$, нужно подставить соответствующие значения аргумента $x$ в формулу функции.

1. Найдем $f(0)$. Подставляем $x=0$:

$f(0) = 2 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

2. Найдем $f(-1,5)$. Подставляем $x=-1,5$:

$f(-1,5) = 2 \cdot (-1,5) - 5 = -3 - 5 = -8$

Ответ: $f(0) = -5$; $f(-1,5) = -8$.

б) Чтобы найти значение $x$, при котором функция $f(x)$ принимает определенное значение, нужно приравнять формулу функции к этому значению и решить полученное уравнение.

1. Найдем $x$, при котором $f(x) = 18$.

Составим уравнение:

$2x - 5 = 18$

Перенесем слагаемое $-5$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 18 + 5$

$2x = 23$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{23}{2}$

$x = 11,5$

2. Найдем $x$, при котором $f(x) = 0$.

Составим уравнение:

$2x - 5 = 0$

Перенесем слагаемое $-5$ в правую часть уравнения:

$2x = 5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5}{2}$

$x = 2,5$

Ответ: при $f(x) = 18$ значение $x = 11,5$; при $f(x) = 0$ значение $x = 2,5$.

4 Определите нули функции $y=x^2+3x$.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции, необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Дана функция: $y = x^2 + 3x$.

Приравниваем $y$ к нулю:

$x^2 + 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x + 3 = 0$

Из второго уравнения находим второй корень:

$x_2 = -3$

Таким образом, нулями функции являются значения $x=0$ и $x=-3$.

Ответ: $0; -3$.

5 По графику функции (см. рис. 5.30) определите:

а) нули функции;

б) значения аргумента, при которых функция положительна;

в) промежуток, на котором функция убывает;

г) наибольшее значение функции.

Поскольку изображение графика (рис. 5.30) не предоставлено, решение будет показано на примере типичной функции, для которой можно определить все указанные в задании характеристики. В качестве примера возьмем параболу, заданную функцией $y = f(x)$. Предположим, что ее ветви направлены вниз, вершина находится в точке с координатами $(1; 4)$, а график пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 3$.

а) нули функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю ($f(x) = 0$). На графике это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Для нашего примера, график пересекает ось $Ox$ в двух точках.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

б) значения аргумента, при которых функция положительна;

Функция положительна ($y > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси абсцисс $Ox$. Для нашей параболы с ветвями вниз, это промежуток между нулями функции.

Ответ: функция положительна при $x \in (-1; 3)$.

в) промежуток, на котором функция убывает;

Функция убывает на том промежутке, где с увеличением аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. На графике это участок, на котором линия графика идет вниз, если смотреть слева направо. Для нашей параболы с вершиной в точке $(1; 4)$ функция возрастает до вершины, а после нее — убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) наибольшее значение функции.

Наибольшее значение функции – это максимальная ордината (значение $y$) среди всех точек графика. Для параболы с ветвями вниз наибольшее значение достигается в ее вершине. Координаты вершины нашего графика — $(1; 4)$.

Ответ: $y_{наиб} = 4$.

6 От Москвы до Ржева 240 км. Автобус выходит из Москвы и едет во Ржев со средней скоростью 60 км/ч. Расстояние $y$, которое остаётся проехать до Ржева, — это функция времени $x$ движения автобуса.

а) Задайте эту функцию формулой.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

г) Что является графиком данной функции?

д) Возрастающей или убывающей является функция?

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

а) Задайте эту функцию формулой.

Пусть $y$ – расстояние, которое остается проехать до Ржева (в км), а $x$ – время движения автобуса (в часах).
Общее расстояние от Москвы до Ржева составляет 240 км.
Автобус движется со средней скоростью 60 км/ч. За время $x$ он проезжает расстояние, равное $60 \cdot x$ км.
Чтобы найти расстояние $y$, которое осталось проехать, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, которое автобус уже проехал.
Таким образом, зависимость $y$ от $x$ выражается формулой:
$y = 240 - 60x$.

Ответ: $y = 240 - 60x$.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

Для нахождения расстояния используем полученную формулу $y = 240 - 60x$, подставляя соответствующие значения времени $x$.
Через 1 час ($x = 1$):
$y = 240 - 60 \cdot 1 = 240 - 60 = 180$ км.
Через 2 часа ($x = 2$):
$y = 240 - 60 \cdot 2 = 240 - 120 = 120$ км.
Через 4 часа ($x = 4$):
$y = 240 - 60 \cdot 4 = 240 - 240 = 0$ км.

Ответ: Через 1 ч останется проехать 180 км, через 2 ч – 120 км, через 4 ч – 0 км (автобус прибудет в Ржев).

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

Для нахождения времени используем ту же формулу $y = 240 - 60x$, подставляя известные значения расстояния $y$ и решая уравнение относительно $x$.
Когда до Ржева останется 100 км ($y = 100$):
$100 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 100$
$60x = 140$
$x = \frac{140}{60} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ ч.
$\frac{7}{3}$ часа = $2 \frac{1}{3}$ часа = 2 часа и 20 минут.
Когда до Ржева останется 80 км ($y = 80$):
$80 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 80$
$60x = 160$
$x = \frac{160}{60} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ ч.
$\frac{8}{3}$ часа = $2 \frac{2}{3}$ часа = 2 часа и 40 минут.

Ответ: В 100 км от Ржева автобус будет через $2 \frac{1}{3}$ часа (2 часа 20 минут), а в 80 км от Ржева – через $2 \frac{2}{3}$ часа (2 часа 40 минут).

г) Что является графиком данной функции?

Функция задана формулой $y = 240 - 60x$, что соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -60$, а $b = 240$.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Однако, в контексте задачи, время $x$ не может быть отрицательным ($x \ge 0$), и расстояние $y$ также не может быть отрицательным ($y \ge 0$).
Из условия $y \ge 0$ следует $240 - 60x \ge 0$, откуда $60x \le 240$, то есть $x \le 4$.
Таким образом, функция определена на отрезке $x \in [0, 4]$.
Следовательно, графиком данной функции является не вся прямая, а отрезок прямой.

Ответ: Графиком данной функции является отрезок прямой.

д) Возрастающей или убывающей является функция?

Функция $y = 240 - 60x$ является линейной с угловым коэффициентом $k = -60$.
Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей.
Это также следует из смысла задачи: с увеличением времени движения $x$ расстояние до пункта назначения $y$ уменьшается.

Ответ: Функция является убывающей.

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

Для построения графика, который является отрезком прямой, достаточно найти координаты его концов.
1. Найдём начальную точку (в момент выезда из Москвы, $x = 0$):
$y = 240 - 60 \cdot 0 = 240$.
Координаты первой точки: $(0; 240)$.
2. Найдём конечную точку (в момент прибытия в Ржев, $y = 0$):
$0 = 240 - 60x \implies 60x = 240 \implies x = 4$.
Координаты второй точки: $(4; 0)$.

Построение графика:
1. Начертим систему координат. Горизонтальную ось назовём "Время, $x$ (ч)", а вертикальную – "Расстояние, $y$ (км)".
2. Выберем удобный масштаб. По оси $x$ можно взять единичный отрезок, равный 1 часу. По оси $y$ можно взять единичный отрезок, равный 60 км.
3. Отметим на координатной плоскости точки с найденными координатами: $(0; 240)$ и $(4; 0)$.
4. Соединим эти две точки прямой линией.

Ответ: График – это отрезок прямой, соединяющий точку $(0; 240)$ на оси $y$ и точку $(4; 0)$ на оси $x$.