Номер 6, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 5. Функции - номер 6, страница 278.

Условие.

6 От Москвы до Ржева 240 км. Автобус выходит из Москвы и едет во Ржев со средней скоростью 60 км/ч. Расстояние $y$, которое остаётся проехать до Ржева, — это функция времени $x$ движения автобуса.

а) Задайте эту функцию формулой.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

г) Что является графиком данной функции?

д) Возрастающей или убывающей является функция?

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Задайте эту функцию формулой.

Пусть $y$ – расстояние, которое остается проехать до Ржева (в км), а $x$ – время движения автобуса (в часах).
Общее расстояние от Москвы до Ржева составляет 240 км.
Автобус движется со средней скоростью 60 км/ч. За время $x$ он проезжает расстояние, равное $60 \cdot x$ км.
Чтобы найти расстояние $y$, которое осталось проехать, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, которое автобус уже проехал.
Таким образом, зависимость $y$ от $x$ выражается формулой:
$y = 240 - 60x$.

Ответ: $y = 240 - 60x$.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

Для нахождения расстояния используем полученную формулу $y = 240 - 60x$, подставляя соответствующие значения времени $x$.
Через 1 час ($x = 1$):
$y = 240 - 60 \cdot 1 = 240 - 60 = 180$ км.
Через 2 часа ($x = 2$):
$y = 240 - 60 \cdot 2 = 240 - 120 = 120$ км.
Через 4 часа ($x = 4$):
$y = 240 - 60 \cdot 4 = 240 - 240 = 0$ км.

Ответ: Через 1 ч останется проехать 180 км, через 2 ч – 120 км, через 4 ч – 0 км (автобус прибудет в Ржев).

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

Для нахождения времени используем ту же формулу $y = 240 - 60x$, подставляя известные значения расстояния $y$ и решая уравнение относительно $x$.
Когда до Ржева останется 100 км ($y = 100$):
$100 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 100$
$60x = 140$
$x = \frac{140}{60} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ ч.
$\frac{7}{3}$ часа = $2 \frac{1}{3}$ часа = 2 часа и 20 минут.
Когда до Ржева останется 80 км ($y = 80$):
$80 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 80$
$60x = 160$
$x = \frac{160}{60} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ ч.
$\frac{8}{3}$ часа = $2 \frac{2}{3}$ часа = 2 часа и 40 минут.

Ответ: В 100 км от Ржева автобус будет через $2 \frac{1}{3}$ часа (2 часа 20 минут), а в 80 км от Ржева – через $2 \frac{2}{3}$ часа (2 часа 40 минут).

г) Что является графиком данной функции?

Функция задана формулой $y = 240 - 60x$, что соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -60$, а $b = 240$.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Однако, в контексте задачи, время $x$ не может быть отрицательным ($x \ge 0$), и расстояние $y$ также не может быть отрицательным ($y \ge 0$).
Из условия $y \ge 0$ следует $240 - 60x \ge 0$, откуда $60x \le 240$, то есть $x \le 4$.
Таким образом, функция определена на отрезке $x \in [0, 4]$.
Следовательно, графиком данной функции является не вся прямая, а отрезок прямой.

Ответ: Графиком данной функции является отрезок прямой.

д) Возрастающей или убывающей является функция?

Функция $y = 240 - 60x$ является линейной с угловым коэффициентом $k = -60$.
Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей.
Это также следует из смысла задачи: с увеличением времени движения $x$ расстояние до пункта назначения $y$ уменьшается.

Ответ: Функция является убывающей.

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

Для построения графика, который является отрезком прямой, достаточно найти координаты его концов.
1. Найдём начальную точку (в момент выезда из Москвы, $x = 0$):
$y = 240 - 60 \cdot 0 = 240$.
Координаты первой точки: $(0; 240)$.
2. Найдём конечную точку (в момент прибытия в Ржев, $y = 0$):
$0 = 240 - 60x \implies 60x = 240 \implies x = 4$.
Координаты второй точки: $(4; 0)$.

Построение графика:
1. Начертим систему координат. Горизонтальную ось назовём "Время, $x$ (ч)", а вертикальную – "Расстояние, $y$ (км)".
2. Выберем удобный масштаб. По оси $x$ можно взять единичный отрезок, равный 1 часу. По оси $y$ можно взять единичный отрезок, равный 60 км.
3. Отметим на координатной плоскости точки с найденными координатами: $(0; 240)$ и $(4; 0)$.
4. Соединим эти две точки прямой линией.

Ответ: График – это отрезок прямой, соединяющий точку $(0; 240)$ на оси $y$ и точку $(4; 0)$ на оси $x$.