Номер 9, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 5. Функции - номер 9, страница 279.

Условие.

9 Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$.

а) Укажите область определения этой функции.

б) При каких значениях $x$ значения функции больше нуля? меньше нуля?

в) Возрастает или убывает функция при $x < 0$? при $x > 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данная функция $y=\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=6>0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика, то есть кривая будет бесконечно приближаться к ним, но никогда не пересечет.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек.

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y = \frac{6}{x}$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их двумя плавными линиями (ветвями гиперболы), которые приближаются к осям координат.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В функции $y=\frac{6}{x}$ присутствует деление на переменную $x$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Все остальные действительные числа являются допустимыми значениями для $x$.
Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме 0. В виде промежутков это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Чтобы определить, при каких значениях $x$ значения функции больше нуля, решим неравенство $y > 0$, то есть $\frac{6}{x} > 0$. Так как числитель $6$ является положительным числом, дробь будет положительной только в том случае, если знаменатель $x$ также положителен. Следовательно, $y>0$ при $x > 0$.
Чтобы определить, при каких значениях $x$ значения функции меньше нуля, решим неравенство $y < 0$, то есть $\frac{6}{x} < 0$. Так как числитель $6$ положителен, дробь будет отрицательной только в том случае, если знаменатель $x$ отрицателен. Следовательно, $y<0$ при $x < 0$.
Ответ: значения функции больше нуля при $x \in (0; +\infty)$; значения функции меньше нуля при $x \in (-\infty; 0)$.

в) Чтобы определить, возрастает или убывает функция, рассмотрим два промежутка из области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Функция вида $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения.
Рассмотрим промежуток $x < 0$. Возьмем два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \frac{6}{-2} = -3$ и $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Так как $x_1 < x_2$, а $y_1 > y_2$, то функция убывает.
Рассмотрим промежуток $x > 0$. Возьмем два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2$. Например, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \frac{6}{2} = 3$ и $y_2 = \frac{6}{3} = 2$. Так как $x_1 < x_2$, а $y_1 > y_2$, то функция также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.