Номер 6, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 5. Функции - номер 6, страница 280.

Условие.

6 Найдите область определения функции $y = \frac{x-3}{3x^2 - 12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x-3}{3x^2 - 12}$ является дробно-рациональной. Основное ограничение для таких функций заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить из области определения, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:

$3x^2 - 12 = 0$

Для упрощения уравнения разделим обе его части на 3:

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, перенеся 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Также можно было разложить левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, откуда $x-2=0$ или $x+2=0$, что дает те же корни $x=2$ и $x=-2$.

Таким образом, при $x = 2$ и $x = -2$ знаменатель дроби обращается в ноль, и функция не определена в этих точках. Область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме -2 и 2.

Запишем область определения в виде объединения интервалов:

$(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.