Страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 По реке плывёт плот. На рисунке изображён график его движения.

На каком из участков пути скорость течения наибольшая?

1) на первом

2) на втором

3) на третьем

4) на четвёртом

$s$, км

IV

III

II

I

$t$, ч

Скорость плота, плывущего по течению, равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя. На графике зависимости пройденного пути $s$ от времени $t$ скорость движения на каждом участке определяется наклоном этого участка графика: чем круче наклон, тем выше скорость.

Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ – это пройденный путь за промежуток времени $\Delta t$. Чтобы найти участок с наибольшей скоростью, рассчитаем скорость для каждого из четырех отрезков графика, определяя координаты их начальных и конечных точек.

на первом
Первый участок соответствует промежутку времени от $t=0$ ч до $t=1$ ч. За это время путь плота изменился от $s=0$ км до $s=1$ км.
$\Delta s_1 = 1 \text{ км} - 0 \text{ км} = 1 \text{ км}$.
$\Delta t_1 = 1 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.
Скорость на этом участке: $v_1 = \frac{1 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 1$ км/ч.

на втором
Второй участок соответствует промежутку времени от $t=1$ ч до $t=3$ ч. Путь изменился от $s=1$ км до $s=2$ км.
$\Delta s_2 = 2 \text{ км} - 1 \text{ км} = 1 \text{ км}$.
$\Delta t_2 = 3 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Скорость на этом участке: $v_2 = \frac{1 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 0,5$ км/ч.

на третьем
Третий участок соответствует промежутку времени от $t=3$ ч до $t=4$ ч. Путь изменился от $s=2$ км до $s=3,5$ км.
$\Delta s_3 = 3,5 \text{ км} - 2 \text{ км} = 1,5 \text{ км}$.
$\Delta t_3 = 4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.
Скорость на этом участке: $v_3 = \frac{1,5 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 1,5$ км/ч.

на четвертом
Четвертый участок соответствует промежутку времени от $t=4$ ч до $t=6$ ч. Путь изменился от $s=3,5$ км до $s=4$ км.
$\Delta s_4 = 4 \text{ км} - 3,5 \text{ км} = 0,5 \text{ км}$.
$\Delta t_4 = 6 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Скорость на этом участке: $v_4 = \frac{0,5 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 0,25$ км/ч.

Сравнив полученные значения скоростей: $v_1 = 1$ км/ч, $v_2 = 0,5$ км/ч, $v_3 = 1,5$ км/ч, $v_4 = 0,25$ км/ч. Наибольшее значение скорости ($1,5$ км/ч) достигается на третьем участке.

Ответ: на третьем.

4 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 3 - 2x^3$. Найдите $f(-2)$.

Для того чтобы найти значение функции $y = f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение в формулу функции и выполнить вычисления.

Исходная функция задана формулой: $f(x) = 3 - 2x^3$.

Требуется найти $f(-2)$. Для этого подставим $x = -2$ в выражение для функции:

$f(-2) = 3 - 2 \cdot (-2)^3$

Вычислим сначала степень:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$f(-2) = 3 - 2 \cdot (-8)$

Выполним умножение:

$f(-2) = 3 - (-16)$

Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению:

$f(-2) = 3 + 16$

$f(-2) = 19$

Ответ: 19

5 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 2 \\ x - 6, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Найдите $f(-10)$.

Найдите f(-10).

Дана кусочно-заданная функция: $ f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 2 \\ x-6, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

Чтобы найти значение функции $f(-10)$, необходимо определить, какому из двух условий удовлетворяет аргумент $x = -10$.

Сравним значение аргумента с числом 2:

$ -10 < 2 $

Поскольку условие $x < 2$ выполняется, для вычисления значения функции мы должны использовать первую формулу: $f(x) = -x^2$.

Теперь подставим $x = -10$ в это выражение:

$f(-10) = -(-10)^2$

Выполним вычисление. Помним, что сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус:

$(-10)^2 = 100$

$f(-10) = -(100) = -100$

Ответ: -100

6 Найдите область определения функции $y = \frac{x-3}{3x^2 - 12}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x-3}{3x^2 - 12}$ является дробно-рациональной. Основное ограничение для таких функций заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить из области определения, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:

$3x^2 - 12 = 0$

Для упрощения уравнения разделим обе его части на 3:

$x^2 - 4 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, перенеся 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Также можно было разложить левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, откуда $x-2=0$ или $x+2=0$, что дает те же корни $x=2$ и $x=-2$.

Таким образом, при $x = 2$ и $x = -2$ знаменатель дроби обращается в ноль, и функция не определена в этих точках. Область определения функции состоит из всех действительных чисел, кроме -2 и 2.

Запишем область определения в виде объединения интервалов:

$(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Функции y = $\frac{x-3}{3x^2-12}$

7 Функция задана графиком на отрезке [-6; 6]. Выпишите номера верных утверждений:

1) $f(0) = -4$

2) наибольшее значение функции равно 4

3) -4 и 4 - нули функции

4) функция принимает положительные значения при $-4 \le x \le 6$

Проанализируем каждое утверждение по отдельности, используя представленный график функции $y = f(x)$ на отрезке $[-6; 6]$.

1) $f(0) = -4$. Чтобы проверить это утверждение, найдём на графике точку с абсциссой $x=0$. Это точка пересечения графика с осью $y$. Её ордината (значение функции) равна 2. Таким образом, $f(0) = 2$. Утверждение, что $f(0) = -4$, неверно.

2) наибольшее значение функции равно 4. Наибольшее значение функции на отрезке — это ордината самой высокой точки графика на этом отрезке. Из графика видно, что пик функции достигается в точке с координатами $(-1; 3)$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-6; 6]$ равно 3. Утверждение, что оно равно 4, неверно.

3) -4 и 4 – нули функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $x$. По графику видим, что он пересекает ось $x$ в точках $x=-4$ и $x=4$. Следовательно, это утверждение верно.

4) функция принимает положительные значения при $-4 < x \le 6$. Функция принимает положительные значения ($f(x)>0$), когда её график находится выше оси абсцисс. Утверждается, что это условие выполняется для всех $x$ из промежутка $(-4; 6]$. Однако из графика видно, что при $x=4$ значение функции равно нулю ($f(4)=0$), а 0 не является положительным числом. Поскольку точка $x=4$ входит в указанный промежуток, данное утверждение неверно.

Таким образом, единственным верным утверждением является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

8 Какой из графиков, изображённых на рисунке, может служить графиком функции, обладающей свойствами:

$y > 0$ при $-2 < x < 1$; функция убывает на промежутке $[-1; 2]$; функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$?

Для решения задачи необходимо последовательно проверить каждый из четырех графиков на соответствие трем заданным свойствам.

$y > 0$ при $-2 < x < 1$

Это условие означает, что на интервале $(-2; 1)$ график функции должен располагаться полностью выше оси абсцисс (оси $Ox$).

- График 1: не соответствует, так как на части этого интервала, а именно $(0; 1)$, значения $y$ отрицательны ($y < 0$).

- График 2: соответствует, так как на всем интервале $(-2; 1)$ график находится выше оси $Ox$.

- График 3: соответствует, так как на всем интервале $(-2; 1)$ график находится выше оси $Ox$.

- График 4: соответствует, так как на всем интервале $(-2; 1)$ график находится выше оси $Ox$.

На этом шаге мы исключаем график 1.

функция убывает на промежутке $[-1; 2]$

Это условие означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1; 2]$ таких, что $x_1 < x_2$, должно выполняться неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$. Визуально это означает, что график на этом отрезке должен идти вниз.

Проверим оставшиеся графики 2, 3 и 4:

- График 2: соответствует, так как на отрезке $[-1; 2]$ функция монотонно убывает. В точке $x=-1$ наблюдается локальный максимум, а в точке $x=2$ — локальный минимум.

- График 3: не соответствует, так как на этом отрезке функция сначала убывает, но затем начинает возрастать (примерно от $x \approx 1.5$ до $x=2$).

- График 4: не соответствует, так как на отрезке $[-1; 2]$ также присутствует участок возрастания.

На этом шаге мы исключаем графики 3 и 4. Единственный оставшийся вариант — график 2.

функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$

Проверим оставшийся график 2 на соответствие этому условию. Условие означает, что при $x \ge 2$ график должен идти вверх.

- График 2: соответствует, так как начиная с точки $x=2$ и далее вправо, график функции идет вверх, то есть функция возрастает.

Таким образом, всем трем условиям удовлетворяет только график под номером 2.

Ответ: 2

9 Какая функция не является линейной?

1) $y = \frac{x}{3}$

2) $y = 1 - 5x$

3) $y = \frac{4}{x}$

4) $y = -0,2x$

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком такой функции является прямая линия. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

1) $y = \frac{x}{3}$

Данное уравнение можно записать в виде $y = \frac{1}{3}x + 0$. Оно полностью соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = \frac{1}{3}$ и свободный член $b = 0$. Следовательно, это линейная функция.

2) $y = 1 - 5x$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $y = -5x + 1$. Оно соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = -5$ и свободный член $b = 1$. Следовательно, это линейная функция.

3) $y = \frac{4}{x}$

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе. Такую функцию нельзя представить в виде $y = kx + b$. Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола, а не прямая линия. Следовательно, эта функция не является линейной.

4) $y = -0,2x$

Данное уравнение можно представить в виде $y = -0,2x + 0$. Оно соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = -0,2$ и свободный член $b = 0$. Следовательно, это линейная функция.

Таким образом, единственная функция из предложенных, которая не является линейной, находится под номером 3.

Ответ: 3