Страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Задайте формулой зависимость объёма куба $V$ от длины его ребра $a$. Какая переменная в этом примере является функцией, а какая аргументом? Укажите область определения данной функции.

$V = a^3$

Задайте формулой зависимость объёма куба V от длины его ребра a.

Объём куба ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты. У куба все рёбра равны. Если длина ребра куба равна $a$, то его объём равен произведению $a \cdot a \cdot a$.

Таким образом, зависимость объёма куба $V$ от длины его ребра $a$ выражается формулой кубической функции:

$V(a) = a^3$

Ответ: $V = a^3$.

Какая переменная в этом примере является функцией, а какая аргументом?

В математическом анализе функция — это зависимость одной переменной от другой. Переменная, значение которой определяется значением другой переменной, называется функцией (или зависимой переменной). Переменная, от которой зависит функция, называется аргументом (или независимой переменной).

В нашем случае объём $V$ зависит от длины ребра $a$. Мы выбираем значение для $a$ и по нему вычисляем значение $V$. Следовательно, $V$ является функцией, а $a$ — аргументом.

Ответ: Переменная $V$ является функцией, а переменная $a$ — аргументом.

Укажите область определения данной функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений её аргумента. Аргументом нашей функции $V(a) = a^3$ является длина ребра куба $a$.

С точки зрения физического смысла, длина ребра не может быть отрицательным числом. Она также не может быть равна нулю, так как в этом случае куб вырождается в точку и не имеет объёма. Таким образом, длина ребра $a$ должна быть строго положительным числом.

Математически это записывается в виде неравенства $a > 0$.

В виде числового промежутка область определения записывается как $(0; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $a > 0$, или $a \in (0; +\infty)$.

2 Используя текст учебника, приведите примеры задания функции графиком, таблицей, формулой.

Функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции). Существует несколько основных способов задания функции.

Задание функции графиком

Этот способ заключается в том, что функция задается своим графиком. График функции — это множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими им значениями функции. Зная график, можно найти значение функции для любого значения аргумента из области определения.

Пример: Рассмотрим график суточного хода температуры воздуха. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается время $t$ в часах, а по вертикальной оси (оси ординат) — температура $T$ в градусах Цельсия. Каждому моменту времени $t$ из промежутка от 0 до 24 часов соответствует единственная точка на графике, ордината которой и является значением температуры в этот момент. Например, по графику мы можем определить, что в $t=8$ часов температура была $T=10^\circ C$, а в $t=14$ часов она достигла максимума $T=22^\circ C$.

Ответ: Примером задания функции графиком является график зависимости температуры воздуха от времени суток. Для любого момента времени (аргумента) по графику можно найти соответствующее значение температуры (значение функции).

Задание функции таблицей

При табличном способе задания функции приводится таблица, содержащая некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется, когда область определения функции является конечным множеством, или для представления результатов измерений в ходе эксперимента.

Пример: Зависимость количества уроков $k$ от дня недели $n$ (пронумерованного от 1 до 6 для учебных дней) для школьника.

Из этой таблицы видно, что аргументу $n=1$ (понедельник) соответствует значение функции $k=6$, аргументу $n=2$ (вторник) — значение $k=7$ и так далее.

Ответ: Примером табличного задания функции является расписание, где в одной строке указан день недели (аргумент), а в другой — количество уроков в этот день (значение функции).

Задание функции формулой

Это способ задания функции, при котором указывается формула, позволяющая для любого значения аргумента $x$ из области определения функции вычислить соответствующее значение функции $y$. Этот способ называется аналитическим и является одним из самых распространенных в математике.

Пример 1: Зависимость периметра квадрата $P$ от длины его стороны $a$ задается формулой $P(a) = 4a$. Эта формула является правилом, по которому для любой длины стороны $a > 0$ можно найти периметр. Например, если $a=5$ см, то $P(5) = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Пример 2: Линейная функция задана формулой $y(x) = 2x + 5$. Для любого действительного значения $x$ мы можем вычислить соответствующее значение $y$. Например, если $x=3$, то $y(3) = 2 \cdot 3 + 5 = 11$. Если $x=-1$, то $y(-1) = 2 \cdot (-1) + 5 = 3$.

Ответ: Примером задания функции формулой является формула для нахождения пути $S$ при равномерном движении: $S(t) = v \cdot t$, где $t$ — время (аргумент), $v$ — постоянная скорость, а $S$ — пройденный путь (значение функции).

3 Прочитайте запись $f(x) = x + 3$. Что означает запись $f(-5)$? Найдите $f(-5)$.

Прочитайте запись $f(x) = x + 3$

Запись $f(x) = x + 3$ читается как «эф от икс равно икс плюс три». Эта запись задает функцию с именем $f$. В этой записи $x$ — это аргумент функции (независимая переменная), а $f(x)$ — это значение функции (зависимая переменная), которое соответствует данному значению $x$. Формула $f(x) = x + 3$ показывает правило, по которому вычисляется значение функции: для любого значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $f(x)$ равно сумме этого значения и числа 3.
Ответ: Запись читается «эф от икс равно икс плюс три».

Что означает запись $f(-5)$?

Запись $f(-5)$ означает «значение функции $f$ в точке $-5$». Это конкретное числовое значение, которое принимает функция $f(x)$, когда ее аргумент $x$ равен $-5$. Для того чтобы найти это значение, необходимо в формулу, задающую функцию, вместо $x$ подставить число $-5$.
Ответ: Запись $f(-5)$ означает значение функции $f(x)$, когда $x = -5$.

Найдите $f(-5)$

Чтобы найти $f(-5)$, мы используем данную нам формулу $f(x) = x + 3$ и подставляем в нее значение $x = -5$.

$f(-5) = (-5) + 3$

Далее выполняем арифметическое действие — сложение:

$-5 + 3 = -2$

Следовательно, $f(-5) = -2$.
Ответ: $f(-5) = -2$.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых выражение, заданное формулой, имеет математический смысл. Чтобы найти область определения функции, нужно определить, для каких значений $x$ все операции в формуле выполнимы.

Рассмотрим в качестве примера функцию $y = \frac{5}{x-1}$.

Правая часть этой формулы представляет собой дробь. Основное правило для дробей гласит, что деление на ноль недопустимо. Это означает, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

В данном случае знаменатель равен $x-1$. Чтобы найти значения $x$, которые не входят в область определения, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение:

$x-1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, при $x=1$ знаменатель обращается в ноль, и значение функции не определено. Следовательно, это значение нужно исключить из области определения.

Все остальные действительные числа являются допустимыми значениями для $x$.

Итак, область определения функции $y = \frac{5}{x-1}$ — это все действительные числа, кроме $x=1$.

Ответ: Область определения функции (обозначается $D(y)$) находится из условия, что все математические операции в формуле функции выполнимы. Для функции $y = \frac{5}{x-1}$ единственным ограничением является то, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому мы требуем, чтобы $x-1 \neq 0$, откуда получаем $x \neq 1$. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел, кроме 1, что записывается в виде объединения интервалов: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

5 На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке $[-5; 5]$. По графику определите:

a) значение $y$ при $x = -1; 0; 3;$

б) значения $x$, при которых $y = 0; 1; -1.$

Рис. 5.60

4. На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае переменной $x$), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. То есть, для этих значений $x$ можно вычислить соответствующее значение $y$.

Чтобы найти область определения функции, заданной формулой, необходимо проанализировать эту формулу на наличие математических операций, которые имеют ограничения. Основные ограничения, встречающиеся в школьном курсе:

1. Деление на выражение, содержащее переменную. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

2. Извлечение арифметического квадратного корня (или любого корня четной степени). Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Рассмотрим конкретный пример: функция $y = \frac{5}{x - 1}$.

В формуле этой функции присутствует операция деления на выражение $x - 1$. Как было сказано выше, знаменатель дроби не может равняться нулю. Поэтому мы должны наложить условие, что выражение $x - 1$ не равно нулю.

Составим и решим соответствующее уравнение (неравенство):

$x - 1 \neq 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$x \neq 1$

Это означает, что в качестве аргумента $x$ можно использовать любое действительное число, кроме числа 1. Если подставить $x=1$ в формулу, то знаменатель обратится в ноль ($1-1=0$), и мы получим деление на ноль, что является недопустимой операцией.

Таким образом, область определения данной функции — это все числа, кроме 1.

Ответ: Область определения функции $y = \frac{5}{x - 1}$ — это множество всех действительных чисел, кроме $x=1$. Это можно записать в виде $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

5. На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке [-5; 5]. По графику определите:

а) значение y при x = -1; 0; 3;

Чтобы по графику найти значение функции (y) для заданного значения аргумента (x), нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) заданное значение x, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить ее ординату (координату по вертикальной оси y).

При $x = -1$: находим на оси $x$ точку -1, движемся вертикально вверх до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты (-1, 3). Следовательно, при $x = -1$, $y = 3$.

При $x = 0$: график пересекает ось $y$ (ось ординат) в точке (0, 2). Следовательно, при $x = 0$, $y = 2$.

При $x = 3$: находим на оси $x$ точку 3, движемся вертикально вниз до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты (3, -1). Следовательно, при $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: При $x = -1$ значение $y = 3$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 3$ значение $y = -1$.

б) значения x, при которых y = 0; 1; -1.

Чтобы по графику найти значения аргумента (x), которым соответствует заданное значение функции (y), нужно найти на оси ординат (вертикальной оси) заданное значение y, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

При $y = 0$: ищем пересечения графика с осью $x$. Это происходит в двух точках. Абсцисса одной точки равна 2. Абсцисса второй точки находится между -3 и -4, примерно -3.7. Итак, $y=0$ при $x=2$ и $x \approx -3.7$.

При $y = 1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 1$.

При $y = -1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y=-1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 3$.

Ответ: $y=0$ при $x \approx -3.7$ и $x=2$; $y=1$ при $x=-3$ и $x=1$; $y=-1$ при $x=-4$ и $x=3$.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

5 На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке $[-5; 5]$. По графику определите:

а) значение $y$ при $x = -1; 0; 3;$

б) значения $x$, при которых $y = 0; 1; -1.$

Рис. 5.60

6 С помощью графика функции (рис. 5.60) опишите её свойства.

4. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Чтобы найти область определения функции, заданной формулой, необходимо проанализировать, какие математические операции используются в формуле, и выявить те, которые имеют ограничения (например, деление на ноль, извлечение корня четной степени из отрицательного числа и т.д.).

Рассмотрим на примере функции $y = \frac{5}{x-1}$.

В этой формуле присутствует операция деления. Основное ограничение для деления заключается в том, что делитель (знаменатель дроби) не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x-1$.

Следовательно, мы должны потребовать, чтобы выполнялось условие: $x - 1 \neq 0$

Решая это простое неравенство, получаем: $x \neq 1$

Это означает, что аргумент $x$ может принимать любые действительные значения, кроме 1. Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, за исключением числа 1. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $y = \frac{5}{x-1}$ — это все действительные числа, кроме $x=1$, так как при $x=1$ знаменатель дроби обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Область определения записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

5.

а) Чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) заданную точку, провести из нее перпендикуляр к графику функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси $y$) и определить соответствующее значение.

• При $x = -1$: находим на оси $x$ точку -1, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно 2. Итак, $y(-1) = 2$.
• При $x = 0$: график пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна 1,5. Итак, $y(0) = 1,5$.
• При $x = 3$: находим на оси $x$ точку 3, опускаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно -1. Итак, $y(3) = -1$.

Ответ: при $x = -1, y = 2$; при $x = 0, y = 1,5$; при $x = 3, y = -1$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $y$ принимает заданное значение, нужно найти на оси ординат (оси $y$) это значение, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• При $y = 0$: прямая $y=0$ совпадает с осью $x$. График пересекает ось $x$ в точке $x = 2$.
• При $y = 1$: проводим прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 1$.
• При $y = -1$: проводим прямую $y=-1$. Она пересекает график в точке с абсциссой $x = 3$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y=1$ при $x=-4$ и $x=1$; $y=-1$ при $x=3$.

6. Свойства функции, изображенной на графике (рис. 5.60):

• Область определения функции: $D(f) = [-5; 5]$ (согласно условию задачи).
• Область значений функции: Множество всех значений, которые принимает функция. По графику видно, что наименьшее значение функции равно -2 (при $x=5$), а наибольшее значение равно 3 (при $x=-2$). Таким образом, $E(f) = [-2; 3]$.
• Нули функции: Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. $y=0$ при $x=2$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y>0$) на промежутке $[-5; 2)$.
  • Функция отрицательна ($y<0$) на промежутке $(2; 5]$.
• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  • Функция возрастает на промежутке $[-5; -2]$.
  • Функция убывает на промежутке $[-2; 5]$.
• Экстремумы функции:
  • Точка максимума: $x_{max} = -2$.
  • Максимум функции (наибольшее значение): $y_{max} = y(-2) = 3$.
  • Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ достигается в точке $x=5$ и равно $y_{min} = -2$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности и экстремумы) описаны в списке выше.

7 Сформулируйте определение линейной функции. Приведите пример конкретной формулы, задающей линейную функцию.

Сформулируйте определение линейной функции

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Графиком линейной функции является прямая линия.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси абсцисс ($Ox$). Если $k > 0$, функция возрастает. Если $k < 0$, функция убывает. Если $k = 0$, функция является постоянной ($y=b$), а ее график — прямая, параллельная оси $Ox$.

Коэффициент $b$ называется свободным членом. Он показывает ординату точки, в которой график функции пересекает ось ординат ($Oy$). То есть, это точка с координатами $(0, b)$.

Ответ: Линейная функция — это функция, задаваемая уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — любые действительные числа.

Приведите пример конкретной формулы, задающей линейную функцию

Примером формулы, которая задает линейную функцию, может служить следующая: $y = 2x + 3$

В этой функции:

• Угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
• Свободный член $b = 3$. Это означает, что график функции (прямая) пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, 3)$.

Ответ: $y = 2x + 3$.

8 Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты).

Графиком линейной функции в декартовой системе координат является прямая линия. Это одно из фундаментальных свойств данной функции, которое и дало ей название "линейная" (от лат. linearis — линейный, относящийся к линии).

Тот факт, что графиком является именно прямая, можно доказать через постоянство углового коэффициента. Для любых двух различных точек на графике $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ отношение приращения функции к приращению аргумента будет постоянной величиной, равной коэффициенту $k$: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{(kx_2 + b) - (kx_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{k(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = k$. Свойство постоянства углового коэффициента для любых двух точек является определением прямой линии в аналитической геометрии.

Коэффициенты в формуле $y = kx + b$ имеют ясный геометрический смысл:

• Коэффициент k, называемый угловым коэффициентом, определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс ($Ox$). Если $k > 0$, прямая "поднимается" слева направо (функция возрастает). Если $k < 0$, прямая "опускается" (функция убывает). Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$, и ее график — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.
• Коэффициент b, или свободный член, показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат ($Oy$). Эта точка пересечения имеет координаты $(0, b)$.

Таким образом, для построения графика любой линейной функции достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих ее уравнению, и провести через них прямую.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

9 При каких значениях $k$ функция $y = kx + 1$ является возрастающей? убывающей? Приведите пример возрастающей линейной функции; убывающей линейной функции. В каждом случае изобразите схематически её график.

При каких значениях k функция $y = kx + 1$ является возрастающей?

Линейная функция вида $y = kx + b$ является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ (число, стоящее перед $x$) положителен. Для функции $y = kx + 1$ это означает, что для её возрастания коэффициент $k$ должен быть больше нуля.

Ответ: $k > 0$.

При каких значениях k функция $y = kx + 1$ является убывающей?

Линейная функция вида $y = kx + b$ является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ отрицателен. Соответственно, для убывания функции $y = kx + 1$ коэффициент $k$ должен быть меньше нуля. При $k=0$ функция $y = 1$ является постоянной и не возрастает и не убывает.

Ответ: $k < 0$.

Пример возрастающей линейной функции и её схематический график

Выберем любое значение $k$, удовлетворяющее условию $k > 0$. Например, пусть $k = 2$. Тогда уравнение функции примет вид: $y = 2x + 1$.

Для построения схематического графика найдём координаты двух точек этой прямой:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
• при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1; 3)$.

График — прямая, проходящая через эти две точки. Так как $k > 0$, график направлен вверх при движении слева направо.

Ответ: Пример возрастающей функции: $y = 2x + 1$. Схематический график представлен выше.

Пример убывающей линейной функции и её схематический график

Выберем любое значение $k$, удовлетворяющее условию $k < 0$. Например, пусть $k = -2$. Тогда уравнение функции примет вид: $y = -2x + 1$.

Для построения схематического графика найдём координаты двух точек этой прямой:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
• при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

График — прямая, проходящая через эти две точки. Так как $k < 0$, график направлен вниз при движении слева направо.

Ответ: Пример убывающей функции: $y = -2x + 1$. Схематический график представлен выше.

10 Укажите область определения функции $y = \frac{k}{x}$. Что является графиком функции $y = \frac{k}{x}$?

Укажите область определения функции $y=\frac{k}{x}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $y=\frac{k}{x}$ представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит переменная $x$. В математике существует правило, что делить на ноль нельзя, так как эта операция не определена. Следовательно, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это накладывает ограничение на переменную $x$: $x \neq 0$. Таким образом, область определения данной функции включает в себя все действительные числа, кроме нуля.

Записать это можно несколькими способами:

• В виде неравенства: $x \neq 0$
• В виде объединения интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
• С помощью обозначения множеств: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Что является графиком функции $y=\frac{k}{x}$?

Функция вида $y=\frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$) называется обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является кривая, которая называется гипербола. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей.

Положение этих ветвей на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях.

Важной особенностью этого графика является то, что его ветви бесконечно приближаются к осям координат (оси $Ox$ и $Oy$), но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график, называются асимптотами. Для гиперболы $y=\frac{k}{x}$ оси координат являются её асимптотами.

Ответ: Графиком функции $y=\frac{k}{x}$ является гипербола.

11 Как расположен на координатной плоскости график функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$? при $k < 0$?

Функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность, ее график — гипербола. Гипербола состоит из двух отдельных кривых, называемых ветвями. Расположение этих ветвей на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$.

при k > 0?

Если коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что переменные $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки, так как их частное положительно. Это возможно в двух случаях:

• Если $x > 0$, то и $y = \frac{k}{x} > 0$. Точки с положительными абсциссой и ординатой $(x > 0, y > 0)$ располагаются в первой координатной четверти (I).
• Если $x < 0$, то и $y = \frac{k}{x} < 0$. Точки с отрицательными абсциссой и ординатой $(x < 0, y < 0)$ располагаются в третьей координатной четверти (III).

Таким образом, ветви гиперболы находятся в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: при $k > 0$ график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

при k < 0?

Если коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что переменные $x$ и $y$ должны иметь разные знаки, так как их частное отрицательно. Это возможно в двух случаях:

• Если $x > 0$, то $y = \frac{k}{x} < 0$. Точки с положительной абсциссой и отрицательной ординатой $(x > 0, y < 0)$ располагаются в четвертой координатной четверти (IV).
• Если $x < 0$, то $y = \frac{k}{x} > 0$. Точки с отрицательной абсциссой и положительной ординатой $(x < 0, y > 0)$ располагаются во второй координатной четверти (II).

Таким образом, ветви гиперболы находятся во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: при $k < 0$ график функции расположен во второй и четвертой координатных четвертях.