Номер 5, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 5. Функции - номер 5, страница 277.

Условие.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

5 На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке $[-5; 5]$. По графику определите:

a) значение $y$ при $x = -1; 0; 3;$

б) значения $x$, при которых $y = 0; 1; -1.$

Рис. 5.60

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

4. На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае переменной $x$), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. То есть, для этих значений $x$ можно вычислить соответствующее значение $y$.

Чтобы найти область определения функции, заданной формулой, необходимо проанализировать эту формулу на наличие математических операций, которые имеют ограничения. Основные ограничения, встречающиеся в школьном курсе:

1. Деление на выражение, содержащее переменную. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

2. Извлечение арифметического квадратного корня (или любого корня четной степени). Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Рассмотрим конкретный пример: функция $y = \frac{5}{x - 1}$.

В формуле этой функции присутствует операция деления на выражение $x - 1$. Как было сказано выше, знаменатель дроби не может равняться нулю. Поэтому мы должны наложить условие, что выражение $x - 1$ не равно нулю.

Составим и решим соответствующее уравнение (неравенство):

$x - 1 \neq 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$x \neq 1$

Это означает, что в качестве аргумента $x$ можно использовать любое действительное число, кроме числа 1. Если подставить $x=1$ в формулу, то знаменатель обратится в ноль ($1-1=0$), и мы получим деление на ноль, что является недопустимой операцией.

Таким образом, область определения данной функции — это все числа, кроме 1.

Ответ: Область определения функции $y = \frac{5}{x - 1}$ — это множество всех действительных чисел, кроме $x=1$. Это можно записать в виде $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

5. На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке [-5; 5]. По графику определите:

а) значение y при x = -1; 0; 3;

Чтобы по графику найти значение функции (y) для заданного значения аргумента (x), нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) заданное значение x, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить ее ординату (координату по вертикальной оси y).

При $x = -1$: находим на оси $x$ точку -1, движемся вертикально вверх до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты (-1, 3). Следовательно, при $x = -1$, $y = 3$.

При $x = 0$: график пересекает ось $y$ (ось ординат) в точке (0, 2). Следовательно, при $x = 0$, $y = 2$.

При $x = 3$: находим на оси $x$ точку 3, движемся вертикально вниз до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты (3, -1). Следовательно, при $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: При $x = -1$ значение $y = 3$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 3$ значение $y = -1$.

б) значения x, при которых y = 0; 1; -1.

Чтобы по графику найти значения аргумента (x), которым соответствует заданное значение функции (y), нужно найти на оси ординат (вертикальной оси) заданное значение y, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

При $y = 0$: ищем пересечения графика с осью $x$. Это происходит в двух точках. Абсцисса одной точки равна 2. Абсцисса второй точки находится между -3 и -4, примерно -3.7. Итак, $y=0$ при $x=2$ и $x \approx -3.7$.

При $y = 1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 1$.

При $y = -1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y=-1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 3$.

Ответ: $y=0$ при $x \approx -3.7$ и $x=2$; $y=1$ при $x=-3$ и $x=1$; $y=-1$ при $x=-4$ и $x=3$.