Номер 8, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 5. Функции - номер 8, страница 277.

Условие.

8 Что является графиком линейной функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты).

Графиком линейной функции в декартовой системе координат является прямая линия. Это одно из фундаментальных свойств данной функции, которое и дало ей название "линейная" (от лат. linearis — линейный, относящийся к линии).

Тот факт, что графиком является именно прямая, можно доказать через постоянство углового коэффициента. Для любых двух различных точек на графике $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ отношение приращения функции к приращению аргумента будет постоянной величиной, равной коэффициенту $k$: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{(kx_2 + b) - (kx_1 + b)}{x_2 - x_1} = \frac{k(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = k$. Свойство постоянства углового коэффициента для любых двух точек является определением прямой линии в аналитической геометрии.

Коэффициенты в формуле $y = kx + b$ имеют ясный геометрический смысл:

• Коэффициент k, называемый угловым коэффициентом, определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс ($Ox$). Если $k > 0$, прямая "поднимается" слева направо (функция возрастает). Если $k < 0$, прямая "опускается" (функция убывает). Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$, и ее график — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.
• Коэффициент b, или свободный член, показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат ($Oy$). Эта точка пересечения имеет координаты $(0, b)$.

Таким образом, для построения графика любой линейной функции достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих ее уравнению, и провести через них прямую.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.