Номер 6, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 5. Функции - номер 6, страница 277.

Условие.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

5 На рисунке 5.60 изображён график функции, заданной на промежутке $[-5; 5]$. По графику определите:

а) значение $y$ при $x = -1; 0; 3;$

б) значения $x$, при которых $y = 0; 1; -1.$

Рис. 5.60

6 С помощью графика функции (рис. 5.60) опишите её свойства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

4. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Чтобы найти область определения функции, заданной формулой, необходимо проанализировать, какие математические операции используются в формуле, и выявить те, которые имеют ограничения (например, деление на ноль, извлечение корня четной степени из отрицательного числа и т.д.).

Рассмотрим на примере функции $y = \frac{5}{x-1}$.

В этой формуле присутствует операция деления. Основное ограничение для деления заключается в том, что делитель (знаменатель дроби) не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x-1$.

Следовательно, мы должны потребовать, чтобы выполнялось условие: $x - 1 \neq 0$

Решая это простое неравенство, получаем: $x \neq 1$

Это означает, что аргумент $x$ может принимать любые действительные значения, кроме 1. Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, за исключением числа 1. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $y = \frac{5}{x-1}$ — это все действительные числа, кроме $x=1$, так как при $x=1$ знаменатель дроби обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Область определения записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

---

5.

а) Чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) заданную точку, провести из нее перпендикуляр к графику функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси $y$) и определить соответствующее значение.

• При $x = -1$: находим на оси $x$ точку -1, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно 2. Итак, $y(-1) = 2$.
• При $x = 0$: график пересекает ось $y$ в точке, ордината которой равна 1,5. Итак, $y(0) = 1,5$.
• При $x = 3$: находим на оси $x$ точку 3, опускаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно -1. Итак, $y(3) = -1$.

Ответ: при $x = -1, y = 2$; при $x = 0, y = 1,5$; при $x = 3, y = -1$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $y$ принимает заданное значение, нужно найти на оси ординат (оси $y$) это значение, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• При $y = 0$: прямая $y=0$ совпадает с осью $x$. График пересекает ось $x$ в точке $x = 2$.
• При $y = 1$: проводим прямую $y=1$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 1$.
• При $y = -1$: проводим прямую $y=-1$. Она пересекает график в точке с абсциссой $x = 3$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y=1$ при $x=-4$ и $x=1$; $y=-1$ при $x=3$.

---

6. Свойства функции, изображенной на графике (рис. 5.60):

• Область определения функции: $D(f) = [-5; 5]$ (согласно условию задачи).
• Область значений функции: Множество всех значений, которые принимает функция. По графику видно, что наименьшее значение функции равно -2 (при $x=5$), а наибольшее значение равно 3 (при $x=-2$). Таким образом, $E(f) = [-2; 3]$.
• Нули функции: Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. $y=0$ при $x=2$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y>0$) на промежутке $[-5; 2)$.
  • Функция отрицательна ($y<0$) на промежутке $(2; 5]$.
• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  • Функция возрастает на промежутке $[-5; -2]$.
  • Функция убывает на промежутке $[-2; 5]$.
• Экстремумы функции:
  • Точка максимума: $x_{max} = -2$.
  • Максимум функции (наибольшее значение): $y_{max} = y(-2) = 3$.
  • Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ достигается в точке $x=5$ и равно $y_{min} = -2$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности и экстремумы) описаны в списке выше.