Номер 854, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 854, страница 276.

Условие.

854 a) В турнире по гимнастике выступают 6 спортсменов. Порядок их выступления определяется жеребьёвкой. Сколько существует различных вариантов очерёдности выступления гимнастов?

б) У второклассника Миши 4 карточки с цифрами 0, 1, 3, 7. Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить? Сколько из этих чисел будет делиться на 5?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Эта задача на нахождение числа перестановок, так как порядок выступления спортсменов важен и все спортсмены различны. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 6 спортсменов.

Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле n-факториала:

$P_n = n!$

В данном случае у нас 6 спортсменов, поэтому n = 6. Вычислим количество возможных вариантов очерёдности:

$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Таким образом, существует 720 различных вариантов очерёдности выступления гимнастов.

Ответ: 720 вариантов.

б)

У нас есть 4 карточки с цифрами 0, 1, 3, 7. Карточки разные, значит, в каждом составляемом числе цифры не должны повторяться.

Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить?

Трёхзначное число состоит из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц.

На место сотен (первая цифра) можно поставить любую из имеющихся цифр, кроме 0 (иначе число не будет трёхзначным). У нас есть 3 варианта: 1, 3 или 7.

На место десятков (вторая цифра) можно поставить любую из 3-х оставшихся цифр. Например, если первой была цифра 1, то для второй позиции остаются цифры 0, 3, 7.

На место единиц (третья цифра) можно поставить любую из 2-х оставшихся после выбора первых двух цифр.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу произведения):

$3 \text{ (варианта для сотен)} \times 3 \text{ (варианта для десятков)} \times 2 \text{ (варианта для единиц)} = 18$

Всего можно составить 18 различных трёхзначных чисел.

Сколько из этих чисел будет делиться на 5?

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из нашего набора цифр {0, 1, 3, 7} подходит только 0.

Значит, на месте единиц (последняя цифра) должен стоять 0. Это 1 вариант.

После того как мы зафиксировали 0 на последнем месте, у нас остались цифры {1, 3, 7} для первых двух позиций.

На место сотен можно поставить любую из этих 3-х цифр.

На место десятков можно поставить любую из 2-х оставшихся.

Считаем количество таких чисел:

$3 \text{ (варианта для сотен)} \times 2 \text{ (варианта для десятков)} \times 1 \text{ (вариант для единиц)} = 6$

Таким образом, 6 чисел из составленных будут делиться на 5. Это числа: 130, 170, 310, 370, 710, 730.

Ответ: можно составить 18 различных трёхзначных чисел; 6 из этих чисел будут делиться на 5.