Номер 852, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. Дополнительные задания - номер 852, страница 276.

Условие.

852 При каком значении $a$ график функции $y = \frac{a}{x}$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$: $a = 1, a = 100, a = -0,1?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, при каком значении параметра $a$ график функции $y=\frac{a}{x}$ не пересекает график функции $y=\sqrt{x}$, необходимо проанализировать наличие решений у системы уравнений:

$$ \begin{cases} y = \frac{a}{x} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $$

Приравняв правые части, получим уравнение: $ \frac{a}{x} = \sqrt{x} $.

Область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Область определения функции $y=\frac{a}{x}$ — это $x \neq 0$. Следовательно, абсцисса любой точки пересечения $x$ должна быть строго положительной ($x>0$).

При $x>0$ функция $y=\sqrt{x}$ принимает только положительные значения ($y>0$). Ее график находится в первой координатной четверти.

Рассмотрим функцию $y=\frac{a}{x}$ при $x>0$. Знак $y$ в этом случае зависит от знака параметра $a$:

• Если $a>0$, то $y>0$, и ветвь гиперболы также находится в первой координатной четверти. В этом случае пересечение возможно.
• Если $a<0$, то $y<0$, и ветвь гиперболы находится в четвертой координатной четверти. В этом случае пересечение невозможно, так как графики лежат в разных четвертях.
• Если $a=0$, то функция принимает вид $y=0$ при $x \neq 0$. Уравнение $0 = \sqrt{x}$ имеет решение $x=0$, но это значение не входит в область определения функции $y=\frac{a}{x}$. Следовательно, пересечения нет.

Таким образом, графики не пересекаются при $a \le 0$. Проверим предложенные значения $a$.

$a = 1$

Поскольку $a=1>0$, графики функций должны пересекаться. Найдем точку пересечения, решив уравнение для данного значения $a$: $ \frac{1}{x} = \sqrt{x} $. Так как мы установили, что $x>0$, мы можем умножить обе части на $x$, получив $1 = x \sqrt{x}$, или $1 = x^{3/2}$. Отсюда находим $x=1^{2/3} = 1$. Точка пересечения существует и имеет координаты $(1, 1)$.

Ответ: при $a=1$ графики пересекаются.

$a = 100$

Поскольку $a=100>0$, графики функций также должны пересекаться. Решим уравнение $\frac{100}{x} = \sqrt{x}$. Это приводит к $100 = x \sqrt{x}$, или $100 = x^{3/2}$. Решением является $x = 100^{2/3} = \sqrt[3]{100^2} = \sqrt[3]{10000}$. Это положительное действительное число, значит, решение существует, и графики пересекаются.

Ответ: при $a=100$ графики пересекаются.

$a = -0,1$

Поскольку $a=-0,1<0$, согласно нашему предварительному анализу, графики не должны пересекаться. Для любого $x>0$ (в области определения $y=\sqrt{x}$), значение $y=\sqrt{x}$ будет положительным. В то же время, значение $y=\frac{-0,1}{x}$ для $x>0$ будет отрицательным. Так как положительное число не может равняться отрицательному, уравнение $\frac{-0,1}{x} = \sqrt{x}$ не имеет решений при $x>0$. Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: при $a=-0,1$ графики не пересекаются.