Номер 845, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 845, страница 275.

Условие.

845 Есть ли на графике функции $y=x^2-4x+3$ точки, ординаты которых равны: 7; -15? Если есть, то чему равны их абсциссы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, существуют ли на графике функции $y = x^2 - 4x + 3$ точки с заданными ординатами, необходимо подставить значение ординаты (координаты $y$) в уравнение функции и найти соответствующие значения абсциссы (координаты $x$). Если получившееся квадратное уравнение имеет действительные корни, то такие точки существуют.

Для ординаты y = 7

Подставим значение $y = 7$ в уравнение функции:

$7 = x^2 - 4x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 4x + 3 - 7 = 0$

$x^2 - 4x - 4 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-4$, $c=-4$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что на графике существуют две точки с ординатой, равной 7.

Найдем их абсциссы по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили две абсциссы: $x_1 = 2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: Да, на графике существуют две точки с ординатой 7. Их абсциссы равны $2 + 2\sqrt{2}$ и $2 - 2\sqrt{2}$.

Для ординаты y = -15

Подставим значение $y = -15$ в уравнение функции:

$-15 = x^2 - 4x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 - (-15) = 0$

$x^2 - 4x + 18 = 0$

Вычислим дискриминант $D$, где $a=1$, $b=-4$, $c=18$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 16 - 72 = -56$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, на графике функции нет точек с ординатой, равной -15.

Дополнительное пояснение: График функции $y = x^2 - 4x + 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Ее вершина является точкой минимума. Найдем координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Минимальное значение функции равно -1. Так как $-15 < -1$, ордината точки на графике не может быть равной -15.

Ответ: Нет, на графике функции нет точек с ординатой -15.