Номер 844, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 844, страница 275.

Условие.

844 Найдите область определения функции: $y = \frac{1}{x^4 - 4x^2}$; $y = \sqrt{2x}$; $y = \sqrt{-2x}$; $y = \frac{1}{|4 - x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

$y = \frac{1}{x^4 - 4x^2}$
Область определения данной функции — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их.
$x^4 - 4x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 4) = 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x^2(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:
$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
Таким образом, значения $x = -2, x = 0, x = 2$ не входят в область определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

$y = \sqrt{2x}$
Область определения функции, содержащей квадратный корень, ограничена условием, что выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$2x \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$x \ge 0$
Следовательно, область определения функции — это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

$y = \sqrt{-2x}$
Аналогично предыдущему случаю, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-2x \ge 0$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Следовательно, область определения функции — это все числа от минус бесконечности до 0, включая 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

$y = \frac{1}{|4 - x|}$
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель содержит модуль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$|4 - x| = 0$
Модуль выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю.
$4 - x = 0$
$x = 4$
Таким образом, из области определения необходимо исключить только точку $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.