Номер 851, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 851, страница 275.

Условие.

851 Имеют ли общие точки графики данных функций? Если имеют, то сколько?

а) $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$;

б) $y = \frac{10}{x}$ и $y = -10x$;

в) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = 0,1x$;

г) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = -0,1x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, имеют ли графики функций общие точки, нужно найти решения системы уравнений, состоящей из этих функций. Общие точки — это точки, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют обоим уравнениям. Это эквивалентно нахождению числа действительных корней уравнения, полученного приравниванием правых частей функций.

а) $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{10}{x} = 10x$

Область допустимых значений: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$10 = 10x^2$

Разделим обе части на 10:

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Следовательно, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, 2 общие точки.

б) $y = \frac{10}{x}$ и $y = -10x$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{10}{x} = -10x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$10 = -10x^2$

Разделим обе части на -10:

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, графики функций не имеют общих точек.

Ответ: нет общих точек.

в) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = 0,1x$

Приравниваем правые части уравнений:

$-\frac{10}{x} = 0,1x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$-10 = 0,1x^2$

Разделим обе части на 0,1:

$x^2 = -\frac{10}{0,1}$

$x^2 = -100$

Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет общих точек.

г) $y = -\frac{10}{x}$ и $y = -0,1x$

Приравниваем правые части уравнений:

$-\frac{10}{x} = -0,1x$

Умножим обе части на -1:

$\frac{10}{x} = 0,1x$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$10 = 0,1x^2$

Разделим обе части на 0,1:

$x^2 = \frac{10}{0,1}$

$x^2 = 100$

Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Следовательно, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: да, 2 общие точки.