Номер 853, страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 853, страница 276.

Условие.

853 Постройте график функции:

1) а) $y = \frac{6}{|x|}$;

б) $y = -\frac{6}{|x|}$.

2) а) $y = \frac{12}{x} + 1$;

б) $y = \frac{12}{x} - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) a)

График функции $y = \frac{6}{|x|}$.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси OY.
Построим график, раскрыв модуль:
1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдем несколько точек для построения: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
2. При $x < 0$, можно воспользоваться свойством четности и симметрично отразить построенную в первой четверти ветвь относительно оси OY. Получим ветвь во второй координатной четверти. Контрольные точки: (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1).
Асимптотами графика являются координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и второй координатных четвертях и симметричные относительно оси OY. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

1) б)

График функции $y = -\frac{6}{|x|}$.
Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси OX.
Рассмотрим функцию подробнее:
Область определения: $x \neq 0$. Функция также является четной, и ее график симметричен относительно оси OY.
Раскроем модуль:
1. При $x > 0$, функция имеет вид $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы в четвертой координатной четверти. Точки: (1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1).
2. При $x < 0$, используя симметрию относительно оси OY, получаем ветвь в третьей координатной четверти. Точки: (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).
Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в третьей и четвертой координатных четвертях и симметричные относительно оси OY. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2) a)

График функции $y = \frac{12}{x} + 1$.
Данный график является результатом сдвига (параллельного переноса) графика стандартной гиперболы $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY.
1. Исходный график $y = \frac{12}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Ее асимптоты — оси координат $x=0$ и $y=0$.
2. При сдвиге на 1 единицу вверх, вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) не изменяется, а горизонтальная асимптота смещается на 1 вверх и становится прямой $y=1$.
3. Для построения графика сначала начертим новые асимптоты $x=0$ и $y=1$. Затем строим гиперболу относительно этих новых осей, как будто это график $y' = \frac{12}{x'}$ в системе координат $x'Oy'$, где $x'=x$, $y'=y-1$.
Найдем несколько точек для точности:
Если $x=3$, $y = \frac{12}{3} + 1 = 5$.
Если $x=4$, $y = \frac{12}{4} + 1 = 4$.
Если $x=12$, $y = \frac{12}{12} + 1 = 2$.
Если $x=-4$, $y = \frac{12}{-4} + 1 = -2$.
Если $x=-12$, $y = \frac{12}{-12} + 1 = 0$ (точка пересечения с осью OX).

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: прямая $x=0$ (ось OY) и прямая $y=1$.

2) б)

График функции $y = \frac{12}{x} - 1$.
Этот график получается путем сдвига графика гиперболы $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
1. Базовый график $y = \frac{12}{x}$ имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.
2. При сдвиге на 1 единицу вниз, вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется, а горизонтальная асимптота смещается вниз и становится прямой $y=-1$.
3. Для построения начертим асимптоты $x=0$ и $y=-1$ и построим относительно них ветви гиперболы.
Найдем несколько точек:
Если $x=4$, $y = \frac{12}{4} - 1 = 2$.
Если $x=6$, $y = \frac{12}{6} - 1 = 1$.
Если $x=12$, $y = \frac{12}{12} - 1 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
Если $x=-4$, $y = \frac{12}{-4} - 1 = -4$.
Если $x=-6$, $y = \frac{12}{-6} - 1 = -3$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вниз. Асимптоты: прямая $x=0$ (ось OY) и прямая $y=-1$.