Номер 848, страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 848, страница 275.

Условие.

848 Постройте в одной системе координат графики функций $y = 2x - 6$ и $y = 0.5x + 3$. Используя графики, определите:

a) при каких значениях $x$ значения функций равны;

б) при каких значениях $x$ значения функции $y = 2x - 6$ больше значений функции $y = 0.5x + 3$;

в) при каких значениях $x$ значения функции $y = 2x - 6$ меньше значений функции $y = 0.5x + 3$;

г) при каких значениях $x$ обе функции принимают положительные значения;

д) при каких значениях $x$ обе функции принимают отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала построим графики обеих функций в одной системе координат. Обе функции, $y = 2x - 6$ и $y = 0.5x + 3$, являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для функции $y = 2x - 6$:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
• Если $y = 0$, то $2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.

Для функции $y = 0.5x + 3$:

• Если $x = 0$, то $y = 0.5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $y = 0$, то $0.5x + 3 = 0 \Rightarrow 0.5x = -3 \Rightarrow x = -6$. Точка $(-6, 0)$.

Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы можем ответить на поставленные вопросы, анализируя их взаимное расположение.

а) при каких значениях x значения функций равны;

Значения функций равны в точке пересечения их графиков. Чтобы найти эту точку, приравняем правые части уравнений:

$2x - 6 = 0.5x + 3$

$2x - 0.5x = 3 + 6$

$1.5x = 9$

$x = \frac{9}{1.5}$

$x = 6$

Ответ: $x = 6$.

б) при каких значениях x значения функции y = 2x - 6 больше значений функции y = 0.5x + 3;

Это условие выполняется, когда график функции $y = 2x - 6$ расположен выше графика функции $y = 0.5x + 3$. Это происходит справа от точки их пересечения. Решим соответствующее неравенство:

$2x - 6 > 0.5x + 3$

$1.5x > 9$

$x > 6$

Ответ: при $x > 6$, то есть $x \in (6; +\infty)$.

в) при каких значениях x значения функции y = 2x - 6 меньше значений функции y = 0.5x + 3;

Это условие выполняется, когда график функции $y = 2x - 6$ расположен ниже графика функции $y = 0.5x + 3$. Это происходит слева от точки их пересечения. Решим неравенство:

$2x - 6 < 0.5x + 3$

$1.5x < 9$

$x < 6$

Ответ: при $x < 6$, то есть $x \in (-\infty; 6)$.

г) при каких значениях x обе функции принимают положительные значения;

Это происходит, когда оба графика находятся выше оси абсцисс (оси x), то есть $y > 0$ для обеих функций. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 6 > 0 \\ 0.5x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$2x > 6 \Rightarrow x > 3$

$0.5x > -3 \Rightarrow x > -6$

Оба неравенства должны выполняться одновременно, поэтому ищем пересечение решений: $x > 3$ и $x > -6$. Общее решение: $x > 3$.

Ответ: при $x > 3$, то есть $x \in (3; +\infty)$.

д) при каких значениях x обе функции принимают отрицательные значения.

Это происходит, когда оба графика находятся ниже оси абсцисс, то есть $y < 0$ для обеих функций. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 6 < 0 \\ 0.5x + 3 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$2x < 6 \Rightarrow x < 3$

$0.5x < -3 \Rightarrow x < -6$

Ищем пересечение решений: $x < 3$ и $x < -6$. Общее решение: $x < -6$.

Ответ: при $x < -6$, то есть $x \in (-\infty; -6)$.