Номер 842, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 5. Функции - номер 842, страница 274.

Условие.

841 Зависимость массы $m$ (в г) деревянно-го куба от длины $x$ (в см) его ребра выражается формулой $m = 0,7x^3$. Постройте график этой зависимости.

По графику найдите:

а) примерную массу куба, ребро которого равно 2,5 см;

б) примерную длину ребра куба, масса которого 8 г.

842 Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 5.57). Расположите в порядке возрастания её значения: $f(-3)$, $f(0)$, $f(2,5)$, $f(4,5)$.

Рис. 5.57

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графика зависимости массы $m$ (в г) от длины ребра $x$ (в см) по формуле $m = 0,7x^3$, необходимо составить таблицу соответствия значений $x$ и $m$. Поскольку длина ребра $x$ не может быть отрицательной, будем рассматривать $x \ge 0$.

Составим таблицу значений:

$x$ (см)	$m = 0,7x^3$ (г)
0	0
1	0,7
2	5,6
2,5	10,94
3	18,9

Отметив эти точки на координатной плоскости (ось абсцисс — $x$, ось ординат — $m$) и соединив их плавной кривой, мы получим график данной зависимости. Это будет ветвь кубической параболы, которая начинается в точке (0,0) и возрастает все быстрее с увеличением $x$.

Используя построенный график, найдем требуемые значения.

а) Для нахождения массы куба с ребром 2,5 см, находим на оси $x$ значение 2,5. Восстанавливаем перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси $m$ и считываем значение. Оно будет приблизительно равно 11 г.
Для проверки можно выполнить точный расчет: $m = 0,7 \cdot (2,5)^3 = 0,7 \cdot 15,625 = 10,9375 \approx 11$ г.

Ответ: примерно 11 г.

б) Для нахождения длины ребра куба массой 8 г, находим на оси $m$ значение 8. Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $x$ и считываем значение. Оно будет приблизительно равно 2,2 см.
Для проверки можно выполнить точный расчет: $8 = 0,7x^3 \implies x^3 = \frac{8}{0,7} \approx 11,428 \implies x = \sqrt[3]{11,428} \approx 2,25$ см.

Ответ: примерно 2,2 см.

---

Данная функция $y = f(x)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Чтобы расположить значения $f(-3), f(0), f(2,5), f(4,5)$ в порядке возрастания, проанализируем их положение на графике.

1. Сначала определим знаки значений функции. Точки графика, расположенные выше оси $x$, соответствуют положительным значениям функции, а ниже оси $x$ — отрицательным.
   • При $x = -3$, точка на графике выше оси $x$, следовательно, $f(-3) > 0$.
   • При $x = 0$, график пересекает ось $y$ ниже оси $x$, следовательно, $f(0) < 0$. По графику $f(0) = -2$.
   • При $x = 2,5$, точка на графике ниже оси $x$, следовательно, $f(2,5) < 0$.
   • При $x = 4,5$, точка на графике выше оси $x$, следовательно, $f(4,5) > 0$.
2. Теперь сравним между собой отрицательные значения: $f(0)$ и $f(2,5)$. Вершина параболы (ее точка минимума) находится примерно в точке $x \approx 1,5$. Значение функции в вершине — наименьшее. Чем дальше аргумент $x$ отстоит от абсциссы вершины, тем больше значение функции. Сравним расстояния от $x=0$ и $x=2,5$ до оси симметрии $x = 1,5$:
   • Для $x=2,5$: $|2,5 - 1,5| = 1$.
   • Для $x=0$: $|0 - 1,5| = 1,5$.
   Так как $1 < 1,5$, точка с абсциссой $x=2,5$ находится ближе к вершине, чем точка с абсциссой $x=0$. Это означает, что значение функции в ней меньше (более отрицательное): $f(2,5) < f(0)$.
3. Аналогично сравним положительные значения: $f(-3)$ и $f(4,5)$. Сравним расстояния от $x=-3$ и $x=4,5$ до оси симметрии $x = 1,5$:
   • Для $x=4,5$: $|4,5 - 1,5| = 3$.
   • Для $x=-3$: $|-3 - 1,5| = |-4,5| = 4,5$.
   Так как $3 < 4,5$, точка с абсциссой $x=4,5$ ближе к вершине, а значит, значение функции в ней меньше: $f(4,5) < f(-3)$.
4. Объединяя полученные неравенства, и учитывая, что любые отрицательные значения меньше любых положительных, выстраиваем значения в порядке возрастания: $f(2,5)$, $f(0)$, $f(4,5)$, $f(-3)$.

Ответ: $f(2,5), f(0), f(4,5), f(-3)$.