Страница 276 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

852 При каком значении $a$ график функции $y = \frac{a}{x}$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$: $a = 1, a = 100, a = -0,1?$

Чтобы определить, при каком значении параметра $a$ график функции $y=\frac{a}{x}$ не пересекает график функции $y=\sqrt{x}$, необходимо проанализировать наличие решений у системы уравнений:

$$ \begin{cases} y = \frac{a}{x} \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $$

Приравняв правые части, получим уравнение: $ \frac{a}{x} = \sqrt{x} $.

Область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Область определения функции $y=\frac{a}{x}$ — это $x \neq 0$. Следовательно, абсцисса любой точки пересечения $x$ должна быть строго положительной ($x>0$).

При $x>0$ функция $y=\sqrt{x}$ принимает только положительные значения ($y>0$). Ее график находится в первой координатной четверти.

Рассмотрим функцию $y=\frac{a}{x}$ при $x>0$. Знак $y$ в этом случае зависит от знака параметра $a$:

• Если $a>0$, то $y>0$, и ветвь гиперболы также находится в первой координатной четверти. В этом случае пересечение возможно.
• Если $a<0$, то $y<0$, и ветвь гиперболы находится в четвертой координатной четверти. В этом случае пересечение невозможно, так как графики лежат в разных четвертях.
• Если $a=0$, то функция принимает вид $y=0$ при $x \neq 0$. Уравнение $0 = \sqrt{x}$ имеет решение $x=0$, но это значение не входит в область определения функции $y=\frac{a}{x}$. Следовательно, пересечения нет.

Таким образом, графики не пересекаются при $a \le 0$. Проверим предложенные значения $a$.

$a = 1$

Поскольку $a=1>0$, графики функций должны пересекаться. Найдем точку пересечения, решив уравнение для данного значения $a$: $ \frac{1}{x} = \sqrt{x} $. Так как мы установили, что $x>0$, мы можем умножить обе части на $x$, получив $1 = x \sqrt{x}$, или $1 = x^{3/2}$. Отсюда находим $x=1^{2/3} = 1$. Точка пересечения существует и имеет координаты $(1, 1)$.

Ответ: при $a=1$ графики пересекаются.

$a = 100$

Поскольку $a=100>0$, графики функций также должны пересекаться. Решим уравнение $\frac{100}{x} = \sqrt{x}$. Это приводит к $100 = x \sqrt{x}$, или $100 = x^{3/2}$. Решением является $x = 100^{2/3} = \sqrt[3]{100^2} = \sqrt[3]{10000}$. Это положительное действительное число, значит, решение существует, и графики пересекаются.

Ответ: при $a=100$ графики пересекаются.

$a = -0,1$

Поскольку $a=-0,1<0$, согласно нашему предварительному анализу, графики не должны пересекаться. Для любого $x>0$ (в области определения $y=\sqrt{x}$), значение $y=\sqrt{x}$ будет положительным. В то же время, значение $y=\frac{-0,1}{x}$ для $x>0$ будет отрицательным. Так как положительное число не может равняться отрицательному, уравнение $\frac{-0,1}{x} = \sqrt{x}$ не имеет решений при $x>0$. Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: при $a=-0,1$ графики не пересекаются.

853 Постройте график функции:

1) а) $y = \frac{6}{|x|}$;

б) $y = -\frac{6}{|x|}$.

2) а) $y = \frac{12}{x} + 1$;

б) $y = \frac{12}{x} - 1$.

График функции $y = \frac{6}{|x|}$.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси OY.
Построим график, раскрыв модуль:
1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдем несколько точек для построения: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
2. При $x < 0$, можно воспользоваться свойством четности и симметрично отразить построенную в первой четверти ветвь относительно оси OY. Получим ветвь во второй координатной четверти. Контрольные точки: (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1).
Асимптотами графика являются координатные оси: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первой и второй координатных четвертях и симметричные относительно оси OY. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

График функции $y = -\frac{6}{|x|}$.
Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси OX.
Рассмотрим функцию подробнее:
Область определения: $x \neq 0$. Функция также является четной, и ее график симметричен относительно оси OY.
Раскроем модуль:
1. При $x > 0$, функция имеет вид $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы в четвертой координатной четверти. Точки: (1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1).
2. При $x < 0$, используя симметрию относительно оси OY, получаем ветвь в третьей координатной четверти. Точки: (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).
Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в третьей и четвертой координатных четвертях и симметричные относительно оси OY. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

График функции $y = \frac{12}{x} + 1$.
Данный график является результатом сдвига (параллельного переноса) графика стандартной гиперболы $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY.
1. Исходный график $y = \frac{12}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Ее асимптоты — оси координат $x=0$ и $y=0$.
2. При сдвиге на 1 единицу вверх, вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) не изменяется, а горизонтальная асимптота смещается на 1 вверх и становится прямой $y=1$.
3. Для построения графика сначала начертим новые асимптоты $x=0$ и $y=1$. Затем строим гиперболу относительно этих новых осей, как будто это график $y' = \frac{12}{x'}$ в системе координат $x'Oy'$, где $x'=x$, $y'=y-1$.
Найдем несколько точек для точности:
Если $x=3$, $y = \frac{12}{3} + 1 = 5$.
Если $x=4$, $y = \frac{12}{4} + 1 = 4$.
Если $x=12$, $y = \frac{12}{12} + 1 = 2$.
Если $x=-4$, $y = \frac{12}{-4} + 1 = -2$.
Если $x=-12$, $y = \frac{12}{-12} + 1 = 0$ (точка пересечения с осью OX).

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вверх. Асимптоты: прямая $x=0$ (ось OY) и прямая $y=1$.

График функции $y = \frac{12}{x} - 1$.
Этот график получается путем сдвига графика гиперболы $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
1. Базовый график $y = \frac{12}{x}$ имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.
2. При сдвиге на 1 единицу вниз, вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется, а горизонтальная асимптота смещается вниз и становится прямой $y=-1$.
3. Для построения начертим асимптоты $x=0$ и $y=-1$ и построим относительно них ветви гиперболы.
Найдем несколько точек:
Если $x=4$, $y = \frac{12}{4} - 1 = 2$.
Если $x=6$, $y = \frac{12}{6} - 1 = 1$.
Если $x=12$, $y = \frac{12}{12} - 1 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
Если $x=-4$, $y = \frac{12}{-4} - 1 = -4$.
Если $x=-6$, $y = \frac{12}{-6} - 1 = -3$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 1 единицу вниз. Асимптоты: прямая $x=0$ (ось OY) и прямая $y=-1$.

854 a) В турнире по гимнастике выступают 6 спортсменов. Порядок их выступления определяется жеребьёвкой. Сколько существует различных вариантов очерёдности выступления гимнастов?

б) У второклассника Миши 4 карточки с цифрами 0, 1, 3, 7. Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить? Сколько из этих чисел будет делиться на 5?

а)

Эта задача на нахождение числа перестановок, так как порядок выступления спортсменов важен и все спортсмены различны. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 6 спортсменов.

Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле n-факториала:

$P_n = n!$

В данном случае у нас 6 спортсменов, поэтому n = 6. Вычислим количество возможных вариантов очерёдности:

$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

Таким образом, существует 720 различных вариантов очерёдности выступления гимнастов.

Ответ: 720 вариантов.

б)

У нас есть 4 карточки с цифрами 0, 1, 3, 7. Карточки разные, значит, в каждом составляемом числе цифры не должны повторяться.

Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить?

Трёхзначное число состоит из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц.

На место сотен (первая цифра) можно поставить любую из имеющихся цифр, кроме 0 (иначе число не будет трёхзначным). У нас есть 3 варианта: 1, 3 или 7.

На место десятков (вторая цифра) можно поставить любую из 3-х оставшихся цифр. Например, если первой была цифра 1, то для второй позиции остаются цифры 0, 3, 7.

На место единиц (третья цифра) можно поставить любую из 2-х оставшихся после выбора первых двух цифр.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу произведения):

$3 \text{ (варианта для сотен)} \times 3 \text{ (варианта для десятков)} \times 2 \text{ (варианта для единиц)} = 18$

Всего можно составить 18 различных трёхзначных чисел.

Сколько из этих чисел будет делиться на 5?

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из нашего набора цифр {0, 1, 3, 7} подходит только 0.

Значит, на месте единиц (последняя цифра) должен стоять 0. Это 1 вариант.

После того как мы зафиксировали 0 на последнем месте, у нас остались цифры {1, 3, 7} для первых двух позиций.

На место сотен можно поставить любую из этих 3-х цифр.

На место десятков можно поставить любую из 2-х оставшихся.

Считаем количество таких чисел:

$3 \text{ (варианта для сотен)} \times 2 \text{ (варианта для десятков)} \times 1 \text{ (вариант для единиц)} = 6$

Таким образом, 6 чисел из составленных будут делиться на 5. Это числа: 130, 170, 310, 370, 710, 730.

Ответ: можно составить 18 различных трёхзначных чисел; 6 из этих чисел будут делиться на 5.

855 Дальтонизм — это врождённая особенность зрения человека, которая выражается в неспособности различать один или несколько цветов. Частота проявления дальтонизма у мужчин колеблется от 0,02 до 0,08, а у женщин составляет примерно 0,004. Сколько дальтоников-мужчин и сколько дальтоников-женщин можно ожидать в городе с населением 100 000 человек?

Указание.

Считайте, что численность мужского и численность женского населения в городе примерно равны.

Для решения задачи необходимо сначала определить численность мужского и женского населения в городе, а затем рассчитать ожидаемое количество людей с дальтонизмом для каждой группы.

1. Общая численность населения города составляет $100\ 000$ человек. Согласно указанию, численность мужского и женского населения примерно равна. Разделим общее население пополам:

Численность мужского населения: $100\ 000 \div 2 = 50\ 000$ человек.

Численность женского населения: $100\ 000 \div 2 = 50\ 000$ человек.

Сколько дальтоников-мужчин можно ожидать

Частота проявления дальтонизма у мужчин колеблется в диапазоне от $0,02$ до $0,08$. Чтобы найти ожидаемое количество, необходимо умножить численность мужского населения на эти значения частоты. В результате мы получим диапазон возможных значений.

Минимальное ожидаемое количество дальтоников-мужчин:

$50\ 000 \times 0,02 = 1000$ человек.

Максимальное ожидаемое количество дальтоников-мужчин:

$50\ 000 \times 0,08 = 4000$ человек.

Ответ: в городе можно ожидать от 1000 до 4000 дальтоников-мужчин.

Сколько дальтоников-женщин можно ожидать

Частота проявления дальтонизма у женщин составляет примерно $0,004$. Чтобы найти ожидаемое количество, умножим численность женского населения на это значение:

$50\ 000 \times 0,004 = 200$ человек.

Ответ: в городе можно ожидать примерно 200 дальтоников-женщин.

Указание. Считайте, что численность мужского и численность женского населения в городе примерно равны.

856 В игре «Что? Где? Когда?» на столе осталось 3 письма (рис. 5.59). Волчок крутится по часовой стрелке. Если стрелка останавливается на уже пустом секторе, то выбирается письмо, ближайшее по направлению вращения волчка. У какого из писем больше шансов, что на него падёт выбор волчка? Оцените шансы каждого письма.

Рис. 5.59

Шансы для письма в секторе 1: $6/13$.

Шансы для письма в секторе 4: $3/13$.

Шансы для письма в секторе 8: $4/13$.

Больше шансов у письма в секторе 1.

Для решения задачи определим, какие сектора игрового стола приводят к выбору каждого из трех оставшихся писем. Всего на столе 13 секторов, и мы предполагаем, что вероятность остановки стрелки на любом из них одинакова.

Письма находятся в секторах 1, 4 и 8. Остальные 10 секторов (2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13) пусты. По правилам, если стрелка указывает на пустой сектор, выбирается письмо из ближайшего по часовой стрелке сектора с письмом.

Рассчитаем количество секторов, "отвечающих" за каждое письмо:

Письмо в секторе 1
Это письмо будет выбрано, если стрелка остановится:
1) непосредственно на секторе 1.
2) на пустых секторах, для которых сектор 1 является ближайшим по ходу вращения волчка. Волчок вращается по часовой стрелке, поэтому это все пустые сектора, расположенные между сектором с письмом 8 и сектором с письмом 1. Это сектора 9, 10, 11, 12, 13.
Итого, за выбор письма из сектора 1 отвечают $1 + 5 = 6$ секторов.

Письмо в секторе 4
Это письмо будет выбрано, если стрелка остановится:
1) непосредственно на секторе 4.
2) на пустых секторах между письмом 1 и письмом 4. Это сектора 2 и 3.
Итого, за выбор письма из сектора 4 отвечают $1 + 2 = 3$ сектора.

Письмо в секторе 8
Это письмо будет выбрано, если стрелка остановится:
1) непосредственно на секторе 8.
2) на пустых секторах между письмом 4 и письмом 8. Это сектора 5, 6, 7.
Итого, за выбор письма из сектора 8 отвечают $1 + 3 = 4$ сектора.

Общее количество секторов: $6 + 3 + 4 = 13$, что соответствует общему числу секторов на столе.

Теперь оценим шансы (вероятность) выбора каждого письма как отношение числа благоприятствующих секторов к общему числу секторов.

• Шанс выбора письма из сектора 1: $P_1 = \frac{6}{13}$
• Шанс выбора письма из сектора 4: $P_4 = \frac{3}{13}$
• Шанс выбора письма из сектора 8: $P_8 = \frac{4}{13}$

Сравнивая полученные вероятности ($\frac{6}{13} > \frac{4}{13} > \frac{3}{13}$), заключаем, что у письма в секторе 1 больше всего шансов быть выбранным.

Ответ: Больше всего шансов у письма, расположенного в секторе 1. Шансы каждого письма: для письма в секторе 1 — $\frac{6}{13}$, для письма в секторе 8 — $\frac{4}{13}$, для письма в секторе 4 — $\frac{3}{13}$.