Страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

828 a) Найдите целую часть числа: 7,5; 25,11; -14; $3\frac{1}{3}$.

б) Найдите дробную часть числа: 19,25; $2\frac{5}{7}$; -3,9; $-45\frac{2}{7}$; 120.

а)

Целая часть числа $x$ (математическое обозначение $\lfloor x \rfloor$ или $[x]$) — это самое большое целое число, которое не превышает $x$.

• Для числа 7,5: самое большое целое число, не превышающее 7,5, это 7.
• Для числа 25,11: самое большое целое число, не превышающее 25,11, это 25.
• Для числа -14: так как это уже целое число, его целая часть равна самому числу, то есть -14.
• Для числа $3\frac{1}{3}$: это число находится между 3 и 4. Самое большое целое число, не превышающее $3\frac{1}{3}$, это 3.

Ответ: 7; 25; -14; 3.

б)

Дробная часть числа $x$ (математическое обозначение $\{x\}$) вычисляется как разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$. Важно помнить, что дробная часть всегда неотрицательна, то есть $0 \leq \{x\} < 1$.

• Для числа 19,25: целая часть $[19,25] = 19$. Дробная часть равна $19,25 - 19 = 0,25$.
• Для числа $2\frac{5}{7}$: целая часть $[2\frac{5}{7}] = 2$. Дробная часть равна $2\frac{5}{7} - 2 = \frac{5}{7}$.
• Для числа -3,9: целая часть (самое большое целое, не превышающее -3,9) равна -4. Дробная часть равна $-3,9 - (-4) = -3,9 + 4 = 0,1$.
• Для числа $-45\frac{2}{7}$: целая часть (самое большое целое, не превышающее $-45\frac{2}{7}$) равна -46. Дробная часть равна $-45\frac{2}{7} - (-46) = -45 - \frac{2}{7} + 46 = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
• Для числа 120: это целое число, поэтому его дробная часть равна $120 - 120 = 0$.

Ответ: 0,25; $\frac{5}{7}$; 0,1; $\frac{5}{7}$; 0.

829 Найдите $[x]$ и $\{x\}$, если $x=6$; $10.8$; $-10.8$; $-6\frac{3}{4}$; $-30$.

Для решения этой задачи необходимо найти целую и дробную части для каждого из заданных значений $x$. Вспомним определения:

• Целая часть числа $x$, обозначаемая как $[x]$ (также называется "антье" или "пол"), — это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$ (т.е. меньше или равно $x$).
• Дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, — это разность между самим числом $x$ и его целой частью. Она вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$ и всегда является неотрицательной, удовлетворяя неравенству $0 \le \{x\} < 1$.

$x = 6$
Число $6$ является целым.
Целая часть: $[6] = 6$.
Дробная часть: $\{6\} = 6 - [6] = 6 - 6 = 0$.
Ответ: $[x] = 6$, $\{x\} = 0$.

$x = 10,8$
Наибольшее целое число, не превосходящее $10,8$, это $10$.
Целая часть: $[10,8] = 10$.
Дробная часть: $\{10,8\} = 10,8 - [10,8] = 10,8 - 10 = 0,8$.
Ответ: $[x] = 10$, $\{x\} = 0,8$.

$x = -10,8$
Для отрицательных чисел важно помнить, что целая часть — это наибольшее целое, которое меньше или равно $x$. Наибольшее целое число, не превосходящее $-10,8$, это $-11$ (поскольку $-11 < -10,8$, а $-10 > -10,8$).
Целая часть: $[-10,8] = -11$.
Дробная часть: $\{-10,8\} = -10,8 - [-10,8] = -10,8 - (-11) = -10,8 + 11 = 0,2$.
Ответ: $[x] = -11$, $\{x\} = 0,2$.

$x = -6\frac{3}{4}$
Сначала представим число в виде десятичной дроби: $x = -6\frac{3}{4} = -6,75$.
Наибольшее целое число, не превосходящее $-6,75$, это $-7$.
Целая часть: $[-6\frac{3}{4}] = [-6,75] = -7$.
Дробная часть: $\{-6\frac{3}{4}\} = -6,75 - [-6,75] = -6,75 - (-7) = -6,75 + 7 = 0,25$.
(Также дробную часть можно представить в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$).
Ответ: $[x] = -7$, $\{x\} = 0,25$.

$x = -30$
Число $-30$ является целым.
Целая часть: $[-30] = -30$.
Дробная часть: $\{-30\} = -30 - [-30] = -30 - (-30) = 0$.
Ответ: $[x] = -30$, $\{x\} = 0$.

830 При каких значениях x:

a) $ [x] = 5; $

б) $ [x] = -3? $

В данной задаче выражение $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ (функция «антье» или «пол»). По определению, целая часть числа $x$ — это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.

Математически, если $[x] = n$, где $n$ является целым числом, то это эквивалентно двойному неравенству: $n \le x < n + 1$.

а)

Рассмотрим уравнение $[x] = 5$. Нам нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Используя определение целой части числа для $n = 5$, получаем неравенство: $5 \le x < 5 + 1$, что упрощается до $5 \le x < 6$.

Это значит, что $x$ может быть любым числом в полуинтервале от $5$ (включительно) до $6$ (не включительно). Например, $[5] = 5$, $[5.1] = 5$, и $[5.999] = 5$, но $[6] = 6$.

Ответ: $5 \le x < 6$.

б)

Теперь рассмотрим уравнение $[x] = -3$.

Аналогично, применяем определение целой части для $n = -3$: $-3 \le x < -3 + 1$, что упрощается до $-3 \le x < -2$.

Это значит, что $x$ может быть любым числом в полуинтервале от $-3$ (включительно) до $-2$ (не включительно). Например, $[-3] = -3$, $[-2.5] = -3$, и $[-2.001] = -3$, но $[-2] = -2$.

Ответ: $-3 \le x < -2$.

831 Укажите несколько значений $x$, для которых ${x} = \frac{1}{2}$.

Выражение $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$. По определению, дробная часть числа — это разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Согласно условию задачи, нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $\{x\} = \frac{1}{2}$.

Подставив определение дробной части в это равенство, получаем уравнение:$x - [x] = \frac{1}{2}$

Отсюда можно выразить $x$:$x = [x] + \frac{1}{2}$

Это означает, что любое число $x$, у которого дробная часть равна $\frac{1}{2}$, можно представить как сумму его целой части и $\frac{1}{2}$. Поскольку целая часть $[x]$ может быть любым целым числом (обозначим его как $n$, где $n \in \mathbb{Z}$), мы можем найти бесконечно много таких значений $x$. Общий вид таких чисел: $x = n + \frac{1}{2}$, где $n$ — любое целое число.

Для того чтобы указать несколько конкретных значений $x$, выберем произвольные целые числа в качестве $n$ и подставим их в полученную формулу:
- при $n = 0$: $x = 0 + \frac{1}{2} = 0.5$
- при $n = 1$: $x = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$
- при $n = 5$: $x = 5 + \frac{1}{2} = 5.5$
- при $n = -1$: $x = -1 + \frac{1}{2} = -0.5$
- при $n = -3$: $x = -3 + \frac{1}{2} = -2.5$
Все эти числа удовлетворяют исходному условию. Например, для $x=-0.5$ проверка будет выглядеть так: $\{-0.5\} = -0.5 - [-0.5] = -0.5 - (-1) = -0.5 + 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5; 1.5; 5.5; -0.5; -2.5$.

Постройте график функции (832—835).

832 а) $y = \lfloor x - 1 \rfloor$;

б) $y = \lfloor x \rfloor - 2$;

в) $y = \lfloor 2x \rfloor$;

г) $y = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{2}$.

Для построения графиков данных функций, необходимо сначала рассмотреть базовую функцию «целая часть числа» $y = [x]$ (также известна как «антье»). Эта функция сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$ и $[-2.7] = -3$. График функции $y = [x]$ представляет собой "лесенку", состоящую из горизонтальных отрезков единичной длины. Для любого целого числа $k$, на промежутке $[k, k+1)$ функция принимает значение $y=k$.

a) $y = [x - 1]$

Используя свойство целой части $[a+n] = [a]+n$ для любого целого числа $n$, мы можем преобразовать данную функцию. При $n=-1$ получаем $y = [x - 1] = [x] - 1$.

Таким образом, график этой функции можно получить, сдвинув график функции $y = [x]$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k - 1$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = -1$, на $[1, 2)$ имеем $y = 0$.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси ординат.

б) $y = [x] - 2$

График этой функции получается из графика функции $y=[x]$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.

Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k - 2$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = -2$, на $[1, 2)$ имеем $y = -1$, а на $[2, 3)$ имеем $y=0$. График — "лесенка" из отрезков длиной 1, смещенная на 2 вниз.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на 2 единицы вниз по оси ординат.

в) $y = [2x]$

В данном случае аргумент функции $x$ умножается на 2, что соответствует преобразованию графика — сжатию вдоль оси абсцисс $Ox$ в 2 раза.

Чтобы построить график, найдем промежутки, на которых функция постоянна. Пусть $y = k$ для некоторого целого $k$. Тогда $[2x] = k$, что по определению целой части равносильно неравенству $k \le 2x < k+1$. Разделив на 2, получаем $\frac{k}{2} \le x < \frac{k+1}{2}$. Длина каждой такой "ступеньки" графика равна $\frac{k+1}{2} - \frac{k}{2} = \frac{1}{2}$. Например, при $x \in [0, 1/2)$ значение $y=0$; при $x \in [1/2, 1)$ значение $y=1$; при $x \in [1, 3/2)$ значение $y=2$.
Ответ: График функции $y=[x]$, сжатый в 2 раза вдоль оси абсцисс.

г) $y = [x] + \frac{1}{2}$

График этой функции получается из графика функции $y=[x]$ путем сдвига на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$.

Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k + \frac{1}{2}$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = 0.5$, на $[1, 2)$ имеем $y = 1.5$. Все "ступеньки" графика $y=[x]$ смещаются на $0.5$ вверх.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на $\frac{1}{2}$ единицы вверх по оси ординат.

833 a) $y=-[x];$

б) $y=[-x];$

В) $y=[|x|].$

а) $y = -[x]$

Данная функция представляет собой результат применения операции отрицания к функции "целая часть от x" (антье). Функция $y = [x]$ (целая часть от $x$) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Ее график представляет собой ступенчатую функцию.

График функции $y = -[x]$ можно получить из графика функции $y = [x]$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим поведение функции на различных интервалах:

1. Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, и $y = -0 = 0$.

2. Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, и $y = -1$.

3. Если $x \in [2, 3)$, то $[x] = 2$, и $y = -2$.

4. Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, и $y = -(-1) = 1$.

5. Если $x \in [-2, -1)$, то $[x] = -2$, и $y = -(-2) = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $y = -n$.

Ответ: График функции $y = -[x]$ является ступенчатой функцией. Он состоит из горизонтальных отрезков (ступенек). Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ функция принимает постоянное значение $y=-n$. Левая граница каждого промежутка (точка $(n, -n)$) включается в график, а правая (точка $(n+1, -n)$) — исключается.

б) $y = [-x]$

В этой функции сначала вычисляется $-x$, а затем от этого значения берется целая часть. Эту функцию можно также выразить через функцию "потолок" $\lceil x \rceil$ (наименьшее целое число, большее или равное $x$), используя свойство $[-x] = -\lceil x \rceil$. Однако мы можем проанализировать ее напрямую.

Рассмотрим поведение функции на различных интервалах:

1. Если $x \in (0, 1]$, то $-x \in [-1, 0)$, и $y = [-x] = -1$.

2. Если $x \in (1, 2]$, то $-x \in [-2, -1)$, и $y = [-x] = -2$.

3. Если $x=0$, то $y = [-0] = 0$.

4. Если $x \in (-1, 0)$, то $-x \in (0, 1)$, и $y = [-x] = 0$. Таким образом, для $x \in (-1, 0]$ значение $y=0$.

5. Если $x \in (-2, -1]$, то $-x \in [1, 2)$, и $y = [-x] = 1$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in (n, n+1]$, то $y = -(n+1)$.

Сравнивая с функцией $y = -[x]$ из пункта (а), можно заметить, что для целых значений $x=n$ значения функций совпадают: $[-n] = -n$ и $-[n]=-n$. Для нецелых $x$ значения отличаются: $y = [-x]$ будет на 1 меньше, чем $y = -[x]$ (так как для нецелого $x$ верно равенство $[-x] = -[x] - 1$).

Ответ: График функции $y = [-x]$ является ступенчатой функцией. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $(n-1, n]$ функция принимает постоянное значение $y=-n$. Левая граница каждого промежутка (точка $(n-1, -n)$) исключается, а правая (точка $(n, -n)$) — включается.

в) $y = [|x|]$

Эта функция сначала берет модуль (абсолютную величину) от $x$, а затем находит целую часть результата. Так как $|x| = |-x|$, то $[|x|] = [|-x|]$. Это означает, что функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика достаточно рассмотреть случай $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = [x]$. Это стандартная функция "целая часть".

1. Если $x \in [0, 1)$, то $y = [x] = 0$.

2. Если $x \in [1, 2)$, то $y = [x] = 1$.

3. Если $x \in [2, 3)$, то $y = [x] = 2$, и так далее.

Теперь используем свойство четности для построения графика при $x < 0$.

1. Участок $y=0$ на $[0, 1)$ при отражении дает участок $y=0$ на $(-1, 0)$. Объединяя, получаем, что $y=0$ на интервале $(-1, 1)$.

2. Участок $y=1$ на $[1, 2)$ (отрезок от $(1,1)$ до $(2,1)$, с выколотой правой точкой) при отражении дает участок $y=1$ на $(-2, -1]$ (отрезок от $(-2,1)$ до $(-1,1)$, с выколотой левой точкой).

3. Участок $y=2$ на $[2, 3)$ при отражении дает участок $y=2$ на $(-3, -2]$.

Ответ: График функции $y = [|x|]$ является четной ступенчатой функцией, симметричной относительно оси Oy. Он состоит из горизонтальных отрезков. $y = 0$ при $x \in (-1, 1)$. $y = 1$ при $x \in [1, 2) \cup (-2, -1]$. $y = 2$ при $x \in [2, 3) \cup (-3, -2]$. В общем виде, для любого целого $n \ge 0$, значение $y=n$ достигается при $x \in [n, n+1) \cup (-(n+1), -n]$.

834 a) $y = -\{x\}$;

б) $y = \{-x\}$.

а) $y = -\{x\}$

Данная задача требует проанализировать и описать функцию $y = -\{x\}$, где $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$. Дробная часть числа определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Основные свойства функции $y = \{x\}$:

• Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений — полуинтервал $[0, 1)$.
• Функция является периодической с основным периодом $T=1$.

Теперь проанализируем функцию $y = -\{x\}$:

1. Область определения. Так как функция $\{x\}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, то и функция $y = -\{x\}$ определена для всех действительных чисел. $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений. Мы знаем, что $0 \le \{x\} < 1$. Умножив это неравенство на -1, получим: $-1 \cdot 0 \ge -1 \cdot \{x\} > -1 \cdot 1$, что равносильно $0 \ge -\{x\} > -1$. Таким образом, область значений функции — полуинтервал $E(y) = (-1, 0]$.

3. Периодичность. Проверим, является ли функция периодической. Рассмотрим $y(x+1)$: $y(x+1) = -\{x+1\}$. Так как $\{x+1\} = \{x\}$, то $y(x+1) = -\{x\} = y(x)$. Следовательно, функция является периодической с основным периодом $T=1$.

4. Построение графика. В силу периодичности, достаточно построить график на любом интервале длиной 1, например, на $[0, 1)$, и затем продолжить его на всю числовую ось.

На интервале $[0, 1)$, для любого $x$ выполняется $\{x\} = x$. Следовательно, на этом интервале функция принимает вид $y = -x$.

• При $x=0$, $y = -0 = 0$. График включает точку $(0, 0)$.
• При приближении $x$ к $1$ слева ($x \to 1^-$), $y$ стремится к $-1$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит этому участку графика (она "выколота").

В целых точках $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$, значение функции равно $y = -\{n\} = -0 = 0$.

Таким образом, график функции состоит из бесконечного числа параллельных отрезков. На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график представляет собой отрезок прямой $y = n-x$ (поскольку $\{x\}=x-n$ на этом интервале). Отрезок начинается в точке $(n, 0)$ (эта точка включена) и идет до точки $(n+1, -1)$ (эта точка "выколота"). Функция имеет разрывы первого рода в каждой целой точке $x=n$, $n \ne 0$. Она является непрерывной справа в каждой целой точке.

Ответ: График функции $y = -\{x\}$ представляет собой совокупность отрезков. Для каждого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y=n-x$, начинающимся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающимся в точке $(n+1, -1)$ (не включительно). Функция периодическая с периодом 1. Область значений: $(-1, 0]$.

б) $y = \{-x\}$

Проанализируем функцию $y = \{-x\}$, используя определение дробной части.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений. По определению дробной части, ее значения всегда лежат в полуинтервале $[0, 1)$. Таким образом, $E(y) = [0, 1)$.

3. Периодичность. Проверим периодичность функции: $y(x+1) = \{-(x+1)\} = \{-x-1\}$. Так как прибавление целого числа не меняет дробную часть, $\{-x-1\} = \{-x\} = y(x)$. Функция является периодической с основным периодом $T=1$.

4. Построение графика. Для анализа и построения графика можно использовать свойство, связывающее $\{x\}$ и $\{-x\}$: $\{x\} + \{-x\} = \begin{cases} 0 & \text{если } x \text{ — целое число } (x \in \mathbb{Z}) \\ 1 & \text{если } x \text{ — нецелое число } (x \notin \mathbb{Z}) \end{cases}$

Из этого свойства следует, что нашу функцию можно представить в виде: $y = \{-x\} = \begin{cases} 0 & \text{если } x \in \mathbb{Z} \\ 1 - \{x\} & \text{если } x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$

Рассмотрим поведение функции:

• Если $x=n$ — целое число, то $y = \{-n\} = 0$. Таким образом, все точки вида $(n, 0)$ принадлежат графику.
• Если $x$ — нецелое число, то $y = 1 - \{x\}$. Это означает, что для построения графика можно взять график функции $y = \{x\}$, отразить его симметрично относительно оси абсцисс (получив $y = -\{x\}$) и затем сдвинуть на 1 вверх.

На интервале $(n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$, имеем $\{x\}=x-n$. Тогда $y = 1 - (x-n) = n+1-x$.

• При приближении $x$ к $n$ справа ($x \to n^+$), $y$ стремится к $n+1-n = 1$.
• При приближении $x$ к $n+1$ слева ($x \to (n+1)^-$), $y$ стремится к $n+1-(n+1)=0$.

Итак, график функции состоит из:

• Точек $(n, 0)$ для всех целых $n$.
• Отрезков прямых $y=n+1-x$ на каждом интервале $(n, n+1)$, соединяющих "выколотую" точку $(n, 1)$ с точкой $(n+1, 0)$ (которая принадлежит графику).

Функция имеет разрывы первого рода в каждой целой точке $x=n$. Она является непрерывной слева в каждой целой точке.

Ответ: График функции $y = \{-x\}$ состоит из точек $(n, 0)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$ и отрезков прямых $y=n+1-x$ на каждом интервале $(n, n+1)$. На каждом таком интервале график убывает от 1 до 0. Функция периодическая с периодом 1. Область значений: $[0, 1)$.

835 $y=[x]+\{x\}.$

В данном уравнении $y = [x] + \{x\}$ используются стандартные обозначения для целой и дробной части числа.

1. Анализ компонентов уравнения:

• $[x]$ — это целая часть числа $x$ (также называется "антье" или "пол" от $x$, обозначается $\lfloor x \rfloor$). Это наибольшее целое число, которое не превышает $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.7] = -3$.
• $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. По определению, дробная часть числа — это разность между самим числом и его целой частью.

2. Основное тождество:

Для любого действительного числа $x$ справедливо тождество, связывающее число, его целую и дробную части: $x = [x] + \{x\}$.

Например:

• Если $x = 3.14$, то $[x]=3$ и $\{x\}=0.14$. Тогда $3 + 0.14 = 3.14$.
• Если $x = -2.7$, то $[x]=-3$ и $\{x\}=0.3$. Тогда $-3 + 0.3 = -2.7$.

3. Упрощение исходного уравнения:

Исходное уравнение имеет вид: $y = [x] + \{x\}$.

Так как мы знаем, что сумма целой и дробной части числа равна самому числу, то есть $[x] + \{x\} = x$, мы можем заменить правую часть уравнения на $x$.

В результате получаем: $y = x$.

Таким образом, данное уравнение является уравнением прямой линии, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Уравнение $y = [x] + \{x\}$ тождественно равно уравнению $y=x$.