Номер 833, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.7. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 833, страница 271.

Условие.

833 a) $y=-[x];$

б) $y=[-x];$

В) $y=[|x|].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = -[x]$

Данная функция представляет собой результат применения операции отрицания к функции "целая часть от x" (антье). Функция $y = [x]$ (целая часть от $x$) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Ее график представляет собой ступенчатую функцию.

График функции $y = -[x]$ можно получить из графика функции $y = [x]$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим поведение функции на различных интервалах:

1. Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, и $y = -0 = 0$.

2. Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, и $y = -1$.

3. Если $x \in [2, 3)$, то $[x] = 2$, и $y = -2$.

4. Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, и $y = -(-1) = 1$.

5. Если $x \in [-2, -1)$, то $[x] = -2$, и $y = -(-2) = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $y = -n$.

Ответ: График функции $y = -[x]$ является ступенчатой функцией. Он состоит из горизонтальных отрезков (ступенек). Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ функция принимает постоянное значение $y=-n$. Левая граница каждого промежутка (точка $(n, -n)$) включается в график, а правая (точка $(n+1, -n)$) — исключается.

б) $y = [-x]$

В этой функции сначала вычисляется $-x$, а затем от этого значения берется целая часть. Эту функцию можно также выразить через функцию "потолок" $\lceil x \rceil$ (наименьшее целое число, большее или равное $x$), используя свойство $[-x] = -\lceil x \rceil$. Однако мы можем проанализировать ее напрямую.

Рассмотрим поведение функции на различных интервалах:

1. Если $x \in (0, 1]$, то $-x \in [-1, 0)$, и $y = [-x] = -1$.

2. Если $x \in (1, 2]$, то $-x \in [-2, -1)$, и $y = [-x] = -2$.

3. Если $x=0$, то $y = [-0] = 0$.

4. Если $x \in (-1, 0)$, то $-x \in (0, 1)$, и $y = [-x] = 0$. Таким образом, для $x \in (-1, 0]$ значение $y=0$.

5. Если $x \in (-2, -1]$, то $-x \in [1, 2)$, и $y = [-x] = 1$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in (n, n+1]$, то $y = -(n+1)$.

Сравнивая с функцией $y = -[x]$ из пункта (а), можно заметить, что для целых значений $x=n$ значения функций совпадают: $[-n] = -n$ и $-[n]=-n$. Для нецелых $x$ значения отличаются: $y = [-x]$ будет на 1 меньше, чем $y = -[x]$ (так как для нецелого $x$ верно равенство $[-x] = -[x] - 1$).

Ответ: График функции $y = [-x]$ является ступенчатой функцией. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $(n-1, n]$ функция принимает постоянное значение $y=-n$. Левая граница каждого промежутка (точка $(n-1, -n)$) исключается, а правая (точка $(n, -n)$) — включается.

в) $y = [|x|]$

Эта функция сначала берет модуль (абсолютную величину) от $x$, а затем находит целую часть результата. Так как $|x| = |-x|$, то $[|x|] = [|-x|]$. Это означает, что функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика достаточно рассмотреть случай $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = [x]$. Это стандартная функция "целая часть".

1. Если $x \in [0, 1)$, то $y = [x] = 0$.

2. Если $x \in [1, 2)$, то $y = [x] = 1$.

3. Если $x \in [2, 3)$, то $y = [x] = 2$, и так далее.

Теперь используем свойство четности для построения графика при $x < 0$.

1. Участок $y=0$ на $[0, 1)$ при отражении дает участок $y=0$ на $(-1, 0)$. Объединяя, получаем, что $y=0$ на интервале $(-1, 1)$.

2. Участок $y=1$ на $[1, 2)$ (отрезок от $(1,1)$ до $(2,1)$, с выколотой правой точкой) при отражении дает участок $y=1$ на $(-2, -1]$ (отрезок от $(-2,1)$ до $(-1,1)$, с выколотой левой точкой).

3. Участок $y=2$ на $[2, 3)$ при отражении дает участок $y=2$ на $(-3, -2]$.

Ответ: График функции $y = [|x|]$ является четной ступенчатой функцией, симметричной относительно оси Oy. Он состоит из горизонтальных отрезков. $y = 0$ при $x \in (-1, 1)$. $y = 1$ при $x \in [1, 2) \cup (-2, -1]$. $y = 2$ при $x \in [2, 3) \cup (-3, -2]$. В общем виде, для любого целого $n \ge 0$, значение $y=n$ достигается при $x \in [n, n+1) \cup (-(n+1), -n]$.