Номер 827, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 827, страница 269.

Условие.

827 a) Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком одну общую точку, если $f(x) = \begin{cases} x + 2 \text{ при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} \text{ при } x > 2. \end{cases}$

б) Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с графиком две общие точки, если $f(x) = \begin{cases} -x - 1 \text{ при } x \le 2 \\ \frac{6}{x} \text{ при } x > 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Построим график функции $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

1. График функции $y=x+2$ при $x \le 2$ представляет собой луч. Для его построения найдем две точки. Крайняя точка луча соответствует $x=2$. При $x=2$, $y = 2+2=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=0+2=2$. Точка $(0, 2)$ также принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч, проходящий через точки $(0, 2)$ и $(2, 4)$, с началом в точке $(2, 4)$.

2. График функции $y=\frac{8}{x}$ при $x > 2$ представляет собой часть гиперболы, расположенной в первой координатной четверти. Найдем значение функции на границе области: при $x$, стремящемся к $2$ справа, $y$ стремится к $\frac{8}{2}=4$. Точка $(2, 4)$ является "начальной" точкой этой части графика, но она не включается (выколотая точка), так как неравенство строгое $x > 2$. Для большей точности найдем еще несколько точек: при $x=4$, $y=\frac{8}{4}=2$; при $x=8$, $y=\frac{8}{8}=1$. При увеличении $x$ значения $y$ стремятся к нулю, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

3. Совместим оба графика. Поскольку для первой части графика точка $(2, 4)$ является конечной, а для второй части она является выколотой начальной точкой, то в точке $(2, 4)$ графики стыкуются, образуя непрерывную линию. График $y=f(x)$ состоит из луча, идущего до точки $(2, 4)$, и ветви гиперболы, начинающейся в этой же точке.

Теперь определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая $y=a$ — это горизонтальная линия.

- Если прямая проходит через точку "стыка" $(2, 4)$, то есть при $a=4$, она имеет с графиком одну общую точку.

- Если прямая проходит ниже ветви гиперболы, то есть при $a \le 0$, она пересекает только луч $y=x+2$ в одной точке (так как ветвь гиперболы $y=8/x$ находится выше оси $Ox$, то есть $y>0$).

- Если прямая проходит между осью $Ox$ и линией $y=4$, то есть при $0 < a < 4$, она пересекает и луч, и ветвь гиперболы, то есть имеет две общие точки.

- Если прямая проходит выше точки "стыка", то есть при $a > 4$, она не имеет с графиком общих точек.

Следовательно, прямая $y=a$ имеет с графиком одну общую точку при $a=4$ и при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{4\}$.

б)

Построим график функции $f(x) = \begin{cases} -x-1 & \text{при } x \le 2 \\ -\frac{6}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$.

1. График функции $y=-x-1$ при $x \le 2$ представляет собой луч. Найдем его крайнюю точку: при $x=2$, $y=-2-1=-3$. Точка $(2, -3)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=-0-1=-1$. Точка $(0, -1)$ также принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч с началом в точке $(2, -3)$, проходящий через точку $(0, -1)$.

2. График функции $y=-\frac{6}{x}$ при $x > 2$ представляет собой часть гиперболы, расположенной в четвертой координатной четверти. Найдем значение функции на границе области: при $x$, стремящемся к $2$ справа, $y$ стремится к $-\frac{6}{2}=-3$. Точка $(2, -3)$ является выколотой начальной точкой для этой части графика. Найдем еще несколько точек: при $x=3$, $y=-\frac{6}{3}=-2$; при $x=6$, $y=-\frac{6}{6}=-1$. При увеличении $x$ значения $y$ стремятся к нулю, приближаясь к оси $Ox$ снизу.

3. Совместим оба графика. Точка $(2, -3)$ является конечной точкой для луча и выколотой начальной точкой для ветви гиперболы. Таким образом, график функции непрерывен. Он состоит из луча $y=-x-1$ до точки $(2, -3)$ и ветви гиперболы $y=-6/x$ после нее.

Теперь определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком ровно две общие точки.

- Если прямая проходит через точку "стыка" $(2, -3)$, то есть при $a=-3$, она имеет одну общую точку.

- Если прямая проходит ниже точки $(2, -3)$, то есть при $a < -3$, общих точек нет.

- Если прямая проходит выше точки "стыка", но ниже оси абсцисс, то есть при $-3 < a < 0$, она пересекает и луч $y=-x-1$, и ветвь гиперболы $y=-6/x$. В этом случае будет две общие точки.

- Если прямая совпадает с осью абсцисс или проходит выше, то есть при $a \ge 0$, она пересекает только луч $y=-x-1$ в одной точке (так как ветвь гиперболы $y=-6/x$ целиком лежит ниже оси $Ox$, то есть $y<0$).

Следовательно, прямая $y=a$ имеет с графиком две общие точки при $-3 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-3; 0)$.