Номер 832, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.7. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 832, страница 271.

Условие.

Постройте график функции (832—835).

832 а) $y = \lfloor x - 1 \rfloor$;

б) $y = \lfloor x \rfloor - 2$;

в) $y = \lfloor 2x \rfloor$;

г) $y = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графиков данных функций, необходимо сначала рассмотреть базовую функцию «целая часть числа» $y = [x]$ (также известна как «антье»). Эта функция сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$ и $[-2.7] = -3$. График функции $y = [x]$ представляет собой "лесенку", состоящую из горизонтальных отрезков единичной длины. Для любого целого числа $k$, на промежутке $[k, k+1)$ функция принимает значение $y=k$.

a) $y = [x - 1]$

Используя свойство целой части $[a+n] = [a]+n$ для любого целого числа $n$, мы можем преобразовать данную функцию. При $n=-1$ получаем $y = [x - 1] = [x] - 1$.

Таким образом, график этой функции можно получить, сдвинув график функции $y = [x]$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$. Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k - 1$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = -1$, на $[1, 2)$ имеем $y = 0$.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси ординат.

б) $y = [x] - 2$

График этой функции получается из графика функции $y=[x]$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.

Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k - 2$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = -2$, на $[1, 2)$ имеем $y = -1$, а на $[2, 3)$ имеем $y=0$. График — "лесенка" из отрезков длиной 1, смещенная на 2 вниз.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на 2 единицы вниз по оси ординат.

в) $y = [2x]$

В данном случае аргумент функции $x$ умножается на 2, что соответствует преобразованию графика — сжатию вдоль оси абсцисс $Ox$ в 2 раза.

Чтобы построить график, найдем промежутки, на которых функция постоянна. Пусть $y = k$ для некоторого целого $k$. Тогда $[2x] = k$, что по определению целой части равносильно неравенству $k \le 2x < k+1$. Разделив на 2, получаем $\frac{k}{2} \le x < \frac{k+1}{2}$. Длина каждой такой "ступеньки" графика равна $\frac{k+1}{2} - \frac{k}{2} = \frac{1}{2}$. Например, при $x \in [0, 1/2)$ значение $y=0$; при $x \in [1/2, 1)$ значение $y=1$; при $x \in [1, 3/2)$ значение $y=2$.
Ответ: График функции $y=[x]$, сжатый в 2 раза вдоль оси абсцисс.

г) $y = [x] + \frac{1}{2}$

График этой функции получается из графика функции $y=[x]$ путем сдвига на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$.

Для любого целого числа $k$, на полуинтервале $[k, k+1)$ значение функции будет постоянным и равным $y = k + \frac{1}{2}$. Например, на промежутке $[0, 1)$ имеем $y = 0.5$, на $[1, 2)$ имеем $y = 1.5$. Все "ступеньки" графика $y=[x]$ смещаются на $0.5$ вверх.
Ответ: График функции $y=[x]$, сдвинутый на $\frac{1}{2}$ единицы вверх по оси ординат.