Номер 834, страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.7. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 834, страница 271.

Условие.

834 a) $y = -\{x\}$;

б) $y = \{-x\}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = -\{x\}$

Данная задача требует проанализировать и описать функцию $y = -\{x\}$, где $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$. Дробная часть числа определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Основные свойства функции $y = \{x\}$:

• Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений — полуинтервал $[0, 1)$.
• Функция является периодической с основным периодом $T=1$.

Теперь проанализируем функцию $y = -\{x\}$:

1. Область определения. Так как функция $\{x\}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, то и функция $y = -\{x\}$ определена для всех действительных чисел. $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений. Мы знаем, что $0 \le \{x\} < 1$. Умножив это неравенство на -1, получим: $-1 \cdot 0 \ge -1 \cdot \{x\} > -1 \cdot 1$, что равносильно $0 \ge -\{x\} > -1$. Таким образом, область значений функции — полуинтервал $E(y) = (-1, 0]$.

3. Периодичность. Проверим, является ли функция периодической. Рассмотрим $y(x+1)$: $y(x+1) = -\{x+1\}$. Так как $\{x+1\} = \{x\}$, то $y(x+1) = -\{x\} = y(x)$. Следовательно, функция является периодической с основным периодом $T=1$.

4. Построение графика. В силу периодичности, достаточно построить график на любом интервале длиной 1, например, на $[0, 1)$, и затем продолжить его на всю числовую ось.

На интервале $[0, 1)$, для любого $x$ выполняется $\{x\} = x$. Следовательно, на этом интервале функция принимает вид $y = -x$.

• При $x=0$, $y = -0 = 0$. График включает точку $(0, 0)$.
• При приближении $x$ к $1$ слева ($x \to 1^-$), $y$ стремится к $-1$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит этому участку графика (она "выколота").

В целых точках $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$, значение функции равно $y = -\{n\} = -0 = 0$.

Таким образом, график функции состоит из бесконечного числа параллельных отрезков. На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график представляет собой отрезок прямой $y = n-x$ (поскольку $\{x\}=x-n$ на этом интервале). Отрезок начинается в точке $(n, 0)$ (эта точка включена) и идет до точки $(n+1, -1)$ (эта точка "выколота"). Функция имеет разрывы первого рода в каждой целой точке $x=n$, $n \ne 0$. Она является непрерывной справа в каждой целой точке.

Ответ: График функции $y = -\{x\}$ представляет собой совокупность отрезков. Для каждого целого $n$, на полуинтервале $[n, n+1)$ график совпадает с отрезком прямой $y=n-x$, начинающимся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающимся в точке $(n+1, -1)$ (не включительно). Функция периодическая с периодом 1. Область значений: $(-1, 0]$.

б) $y = \{-x\}$

Проанализируем функцию $y = \{-x\}$, используя определение дробной части.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений. По определению дробной части, ее значения всегда лежат в полуинтервале $[0, 1)$. Таким образом, $E(y) = [0, 1)$.

3. Периодичность. Проверим периодичность функции: $y(x+1) = \{-(x+1)\} = \{-x-1\}$. Так как прибавление целого числа не меняет дробную часть, $\{-x-1\} = \{-x\} = y(x)$. Функция является периодической с основным периодом $T=1$.

4. Построение графика. Для анализа и построения графика можно использовать свойство, связывающее $\{x\}$ и $\{-x\}$: $\{x\} + \{-x\} = \begin{cases} 0 & \text{если } x \text{ — целое число } (x \in \mathbb{Z}) \\ 1 & \text{если } x \text{ — нецелое число } (x \notin \mathbb{Z}) \end{cases}$

Из этого свойства следует, что нашу функцию можно представить в виде: $y = \{-x\} = \begin{cases} 0 & \text{если } x \in \mathbb{Z} \\ 1 - \{x\} & \text{если } x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$

Рассмотрим поведение функции:

• Если $x=n$ — целое число, то $y = \{-n\} = 0$. Таким образом, все точки вида $(n, 0)$ принадлежат графику.
• Если $x$ — нецелое число, то $y = 1 - \{x\}$. Это означает, что для построения графика можно взять график функции $y = \{x\}$, отразить его симметрично относительно оси абсцисс (получив $y = -\{x\}$) и затем сдвинуть на 1 вверх.

На интервале $(n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$, имеем $\{x\}=x-n$. Тогда $y = 1 - (x-n) = n+1-x$.

• При приближении $x$ к $n$ справа ($x \to n^+$), $y$ стремится к $n+1-n = 1$.
• При приближении $x$ к $n+1$ слева ($x \to (n+1)^-$), $y$ стремится к $n+1-(n+1)=0$.

Итак, график функции состоит из:

• Точек $(n, 0)$ для всех целых $n$.
• Отрезков прямых $y=n+1-x$ на каждом интервале $(n, n+1)$, соединяющих "выколотую" точку $(n, 1)$ с точкой $(n+1, 0)$ (которая принадлежит графику).

Функция имеет разрывы первого рода в каждой целой точке $x=n$. Она является непрерывной слева в каждой целой точке.

Ответ: График функции $y = \{-x\}$ состоит из точек $(n, 0)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$ и отрезков прямых $y=n+1-x$ на каждом интервале $(n, n+1)$. На каждом таком интервале график убывает от 1 до 0. Функция периодическая с периодом 1. Область значений: $[0, 1)$.