Страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

в) самому быстрому убыванию;

г) самому медленному убыванию;

д) нулевой скорости изменения?

800 На рисунке 5.43 изображён график следующего процесса: ванну наполнили водой и через некоторое время воду слили. Опишите по графику, как протекал процесс. Для каждого прямолинейного участка графика определите, с какой скоростью наливалась или выливалась вода.

$V, \text{ л}$

$t, \text{ мин}$

Рис. 5.43

На графике изображен процесс изменения объёма воды в ванне с течением времени. Весь процесс можно разделить на четыре этапа, соответствующие четырем прямолинейным участкам на графике.

Описание процесса:

• 0–10 мин: Ванну наполняют водой.
• 10–20 мин: Ванну продолжают наполнять водой, но с большей скоростью.
• 20–35 мин: Объем воды в ванне не меняется (кран закрыт, слив тоже).
• 35–45 мин: Воду из ванны сливают.

Теперь определим скорость изменения объема воды (скорость наполнения или слива) для каждого участка. Скорость находится как отношение изменения объема (${\Delta V}$) к изменению времени (${\Delta t}$).

Участок от 0 до 10 минут

На этом участке объём воды увеличивается с 0 до 20 литров за 10 минут. Скорость наполнения $v_1$ равна:

$v_1 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{20 \text{ л} - 0 \text{ л}}{10 \text{ мин} - 0 \text{ мин}} = \frac{20 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 2 \text{ л/мин}$

Ответ: В промежутке от 0 до 10 минут вода наливалась со скоростью 2 л/мин.

Участок от 10 до 20 минут

На этом участке объём воды увеличивается с 20 до 50 литров за 10 минут. Скорость наполнения $v_2$ равна:

$v_2 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{50 \text{ л} - 20 \text{ л}}{20 \text{ мин} - 10 \text{ мин}} = \frac{30 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 3 \text{ л/мин}$

Ответ: В промежутке от 10 до 20 минут вода наливалась со скоростью 3 л/мин.

Участок от 20 до 35 минут

На этом участке объём воды не изменяется и остается равным 50 литрам. Следовательно, скорость изменения объёма $v_3$ равна нулю.

$v_3 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{50 \text{ л} - 50 \text{ л}}{35 \text{ мин} - 20 \text{ мин}} = \frac{0 \text{ л}}{15 \text{ мин}} = 0 \text{ л/мин}$

Ответ: В промежутке от 20 до 35 минут скорость изменения объема воды была 0 л/мин.

Участок от 35 до 45 минут

На этом участке объём воды уменьшается с 50 до 0 литров за 10 минут. Это означает, что воду сливают. Скорость изменения объёма $v_4$ :

$v_4 = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{0 \text{ л} - 50 \text{ л}}{45 \text{ мин} - 35 \text{ мин}} = \frac{-50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = -5 \text{ л/мин}$

Отрицательное значение скорости указывает на уменьшение объёма. Таким образом, скорость слива воды составляет 5 л/мин.

Ответ: В промежутке от 35 до 45 минут вода выливалась со скоростью 5 л/мин.

801 На каком из рисунков (рис. 5.44) изображён график движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью? Найдите скорость движения этого пешехода.

$s$, км

$t$, ч

Рис. 5.44

На каком из рисунков изображён график движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью?

Чтобы определить, какой график соответствует движению с постоянной скоростью, необходимо проанализировать зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ на каждом из рисунков.

• Рисунок ①: График представляет собой прямую линию, которая начинается в точке (0,0). Это означает, что пройденный путь прямо пропорционален времени движения ($s = k \cdot t$). Такая линейная зависимость характерна для движения с постоянной скоростью, где коэффициент пропорциональности $k$ и есть скорость.
• Рисунок ②: График — это горизонтальная прямая на уровне $s=4$ км. Это показывает, что с течением времени расстояние от начальной точки не меняется. Следовательно, пешеход находится в состоянии покоя (не движется), и его скорость равна нулю.
• Рисунок ③: График является S-образной кривой. Наклон графика в разных точках различен, а наклон графика зависимости пути от времени представляет собой мгновенную скорость. Поскольку наклон меняется, скорость пешехода не является постоянной.

Исходя из анализа, только график на рисунке ① соответствует движению с постоянной скоростью.

Ответ: График движения пешехода с постоянной скоростью изображён на рисунке ①.

Найдите скорость движения этого пешехода.

Скорость равномерного движения ($v$) можно найти по формуле:$v = \frac{s}{t}$где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время, за которое этот путь пройден.

Для вычисления скорости воспользуемся данными с графика ①. Выберем на графике любую удобную точку. Например, при времени $t = 1$ час, пройденный пешеходом путь $s$ составляет 4 км.

Подставим эти значения в формулу:$v = \frac{4 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость движения пешехода равна 4 км/ч.

802 Изобразите график описанного процесса: «Альпинист поднимается по отвесной скале. Он начал подъём на высоте $4 \text{ м}$ от земли. В течение $3 \text{ мин}$ он поднимался со скоростью $0,5 \text{ м/мин}$, затем в течение $2 \text{ мин}$ спускался со скоростью $0,3 \text{ м/мин}$, а затем в течение $2 \text{ мин}$ поднимался со скоростью $1,5 \text{ м/мин}$».

Для построения графика зависимости высоты альпиниста от времени $h(t)$ отложим по оси абсцисс время $t$ в минутах, а по оси ординат — высоту $h$ в метрах. Поскольку на каждом этапе движение происходит с постоянной скоростью, график будет представлять собой ломаную линию. Найдем координаты узловых точек этой линии.

1. Начальная точка.
В начальный момент времени $t = 0$ мин, альпинист находится на высоте $h = 4$ м. Следовательно, первая точка графика имеет координаты $(0; 4)$.

2. Первый этап: подъем.
В течение $Δt_1 = 3$ мин альпинист поднимался со скоростью $v_1 = 0,5$ м/мин. За это время он набрал высоту:$Δh_1 = v_1 \times Δt_1 = 0,5 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 1,5$ м.
К концу этого этапа, в момент времени $t_1 = 0 + 3 = 3$ мин, его высота составила:$h_1 = 4 \text{ м} + 1,5 \text{ м} = 5,5$ м.
Таким образом, вторая точка графика имеет координаты $(3; 5,5)$.

3. Второй этап: спуск.
Затем в течение $Δt_2 = 2$ мин альпинист спускался со скоростью $v_2 = 0,3$ м/мин. Спуск означает уменьшение высоты. Изменение высоты за этот этап:$Δh_2 = -v_2 \times Δt_2 = -0,3 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = -0,6$ м.
К концу второго этапа, в момент времени $t_2 = 3 + 2 = 5$ мин, его высота стала:$h_2 = h_1 + Δh_2 = 5,5 \text{ м} - 0,6 \text{ м} = 4,9$ м.
Третья точка графика имеет координаты $(5; 4,9)$.

4. Третий этап: подъем.
В последние $Δt_3 = 2$ мин альпинист снова поднимался, но со скоростью $v_3 = 1,5$ м/мин. Прирост высоты на этом этапе:$Δh_3 = v_3 \times Δt_3 = 1,5 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 3$ м.
К концу третьего этапа, в момент времени $t_3 = 5 + 2 = 7$ мин, итоговая высота альпиниста составила:$h_3 = h_2 + Δh_3 = 4,9 \text{ м} + 3 \text{ м} = 7,9$ м.
Четвертая, конечная точка графика имеет координаты $(7; 7,9)$.

Построение графика.
Для изображения графика нужно нанести на координатную плоскость ($t$, $h$) вычисленные точки и последовательно соединить их отрезками прямой.

Ответ: График процесса представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами $(0; 4)$, $(3; 5,5)$, $(5; 4,9)$ и $(7; 7,9)$. По оси абсцисс откладывается время в минутах, по оси ординат — высота в метрах.

803 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 0 \\ -x+1, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

В) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

Г) $y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

График этой функции состоит из двух частей (лучей), которые строятся на разных промежутках оси $x$.

1. Для $x \le 0$ строим график функции $y = \frac{1}{2}x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча достаточно найти две точки.

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Координаты начальной точки луча $(0, 0)$. Так как неравенство $x \le 0$ нестрогое, эта точка принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. Координаты второй точки $(-2, -1)$.

Таким образом, в левой полуплоскости ($x \le 0$) график представляет собой луч, исходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-2, -1)$.

2. Для $x > 0$ строим график функции $y = 2x$. Это также линейная функция.

• Найдём граничную точку, подставив $x=0$: $y = 2 \cdot 0 = 0$. Луч начинается в точке $(0, 0)$. Поскольку неравенство $x > 0$ строгое, сама точка $(0,0)$ не принадлежит этой части графика, но она совпадает с конечной точкой предыдущего луча, поэтому разрыва в функции нет.
• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Координаты второй точки $(1, 2)$.

Таким образом, в правой полуплоскости ($x > 0$) график представляет собой луч, исходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат $(0, 0)$. Первый луч задаётся уравнением $y = \frac{1}{2}x$ для $x \le 0$, второй — уравнением $y = 2x$ для $x > 0$.

б) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 0 \\ -x+1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

График этой функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 0$ строим график функции $y = x+1$. Это линейная функция.

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Координаты начальной точки луча $(0, 1)$. Точка принадлежит графику.
• При $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Координаты второй точки $(-1, 0)$.

Строим луч с началом в точке $(0, 1)$, проходящий через точку $(-1, 0)$.

2. Для $x > 0$ строим график функции $y = -x+1$. Это также линейная функция.

• Граничная точка при $x=0$: $y = -0 + 1 = 1$. Луч начинается в точке $(0, 1)$. Функция непрерывна, так как значение в граничной точке совпадает.
• При $x = 1$, $y = -1 + 1 = 0$. Координаты второй точки $(1, 0)$.

Строим луч с началом в точке $(0, 1)$, проходящий через точку $(1, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 1)$. График симметричен относительно оси $Oy$ и представляет собой "перевёрнутую галку" с вершиной в точке $(0, 1)$. Данный график соответствует функции $y=-|x|+1$.

в) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График функции состоит из двух частей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = 2$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая.

Так как $x \le 1$, мы строим горизонтальный луч на высоте $y=2$, который идёт из минус бесконечности и заканчивается в точке, где $x=1$. Координаты конечной точки $(1, 2)$. Точка принадлежит графику.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = 2x$. Это линейная функция.

• Граничная точка при $x=1$: $y = 2 \cdot 1 = 2$. Луч начинается в точке $(1, 2)$. Функция непрерывна.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Координаты второй точки $(2, 4)$.

Строим луч с началом в точке $(1, 2)$, проходящий через точку $(2, 4)$.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединённых в точке $(1, 2)$. Для $x \le 1$ это горизонтальный луч $y=2$, а для $x > 1$ — луч $y=2x$, идущий вверх.

г) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = -x-1$. Это линейная функция.

• При $x = 1$, $y = -1 - 1 = -2$. Координаты конечной точки луча $(1, -2)$. Точка принадлежит графику.
• При $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Координаты второй точки $(0, -1)$.

Строим луч, заканчивающийся в точке $(1, -2)$ и проходящий через точку $(0, -1)$.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = -2$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая.

Так как $x > 1$, мы строим горизонтальный луч на высоте $y=-2$, который начинается в точке, где $x=1$. Координаты начальной точки $(1, -2)$. Функция непрерывна. Луч уходит вправо в бесконечность.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединённых в точке $(1, -2)$. Для $x \le 1$ это луч $y=-x-1$, идущий вниз, а для $x > 1$ — горизонтальный луч $y=-2$.