Страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

797 В одной системе координат постройте графики линейных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и определите значения $x$, при которых $f(x) = g(x)$; $f(x) > g(x)$; $f(x) < g(x):$

a) $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $f(x) = x + 3$, $g(x) = -\frac{1}{3}x$.

а) $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$

Для построения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой, так как графиком линейной функции является прямая.

Для графика функции $y = f(x) = 2x - 5$:при $x=0, y = 2 \cdot 0 - 5 = -5$, получаем точку $(0, -5)$;при $x=3, y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$, получаем точку $(3, 1)$.Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = g(x) = \frac{1}{2}x + 1$:при $x=0, y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$, получаем точку $(0, 1)$;при $x=2, y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2$, получаем точку $(2, 2)$.Проводим вторую прямую через эти точки в той же системе координат.

Теперь определим значения $x$, при которых выполняются заданные условия, анализируя положение графиков и решая соответствующие уравнения и неравенства.

$f(x) = g(x)$

Равенство функций выполняется при значении $x$, которое является абсциссой точки пересечения их графиков. Найдем эту абсциссу, решив уравнение:

$2x - 5 = \frac{1}{2}x + 1$

$2x - \frac{1}{2}x = 1 + 5$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$x = 4$

$f(x) > g(x)$

Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. На графике это соответствует части прямой $y=f(x)$, которая находится справа от точки пересечения. Решим неравенство аналитически:

$2x - 5 > \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{3}{2}x > 6$

$x > 4$

$f(x) < g(x)$

Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. На графике это соответствует части прямой $y=f(x)$, которая находится слева от точки пересечения. Решим неравенство аналитически:

$2x - 5 < \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{3}{2}x < 6$

$x < 4$

Ответ: $f(x) = g(x)$ при $x=4$; $f(x) > g(x)$ при $x > 4$; $f(x) < g(x)$ при $x < 4$.

б) $f(x) = x + 3$, $g(x) = -\frac{1}{3}x$

Для построения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой.

Для графика функции $y = f(x) = x + 3$:при $x=0, y = 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$;при $x=-3, y = -3 + 3 = 0$, получаем точку $(-3, 0)$.Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = g(x) = -\frac{1}{3}x$:при $x=0, y = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$, получаем точку $(0, 0)$;при $x=3, y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$, получаем точку $(3, -1)$.Проводим вторую прямую через эти точки в той же системе координат.

Теперь определим значения $x$, при которых выполняются заданные условия.

$f(x) = g(x)$

Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение:

$x + 3 = -\frac{1}{3}x$

$x + \frac{1}{3}x = -3$

$\frac{4}{3}x = -3$

$x = -3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$

$f(x) > g(x)$

Неравенство выполняется, когда график $f(x)$ выше графика $g(x)$. Функция $f(x)$ возрастающая (угловой коэффициент $k=1>0$), а $g(x)$ убывающая ($k=-\frac{1}{3}<0$). Значит, после точки пересечения график $f(x)$ будет выше. Решим неравенство:

$x + 3 > -\frac{1}{3}x$

$\frac{4}{3}x > -3$

$x > -\frac{9}{4}$

$f(x) < g(x)$

Неравенство выполняется, когда график $f(x)$ ниже графика $g(x)$. Это происходит до точки пересечения. Решим неравенство:

$x + 3 < -\frac{1}{3}x$

$\frac{4}{3}x < -3$

$x < -\frac{9}{4}$

Ответ: $f(x) = g(x)$ при $x = -\frac{9}{4}$; $f(x) > g(x)$ при $x > -\frac{9}{4}$; $f(x) < g(x)$ при $x < -\frac{9}{4}$.

798 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) У вас имеется 10 р. и есть два способа увеличить эту сумму: ежедневно добавлять к ней 5 р. или ежедневно добавлять к ней 2 р. Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег $y$ от числа дней $x$.

Вариант 1: $y = 10 + 5x$

Вариант 2: $y = 10 + 2x$

В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее? В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 7$.

б) Андрей планирует поработать во время летних каникул, и у него есть две возможности. На работе А он будет получать 50 р. в день. На работе В он в первый день получит 25 р., а затем ежедневно будет получать 50 р. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег $y$ от числа рабочих дней $x$ для вариантов А и В.

Вариант А: $y = 50x$

Вариант В: $y = 25 + 50(x - 1)$ или $y = 50x - 25$

В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 5$. Существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ равны?

а)

Пусть $y$ — имеющаяся сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Изначально у нас есть 10 рублей.

Первый способ: ежедневно добавлять по 5 рублей. Каждый день сумма увеличивается на 5 рублей. За $x$ дней добавится $5x$ рублей. Итоговая сумма $y_1$ будет складываться из начальной суммы и добавленных денег:
$y_1 = 10 + 5x$

Второй способ: ежедневно добавлять по 2 рубля. Каждый день сумма увеличивается на 2 рубля. За $x$ дней добавится $2x$ рублей. Итоговая сумма $y_2$ будет:
$y_2 = 10 + 2x$

Чтобы определить, в каком случае сумма будет увеличиваться быстрее, нужно сравнить скорости увеличения. В линейной функции $y = kx + b$ скорость изменения — это угловой коэффициент $k$.
Для первого случая $k_1 = 5$.
Для второго случая $k_2 = 2$.
Поскольку $5 > 2$, в первом случае сумма будет увеличиваться быстрее.

Построение графиков. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.
Для $y_1 = 10 + 5x$:
При $x=1$, $y_1 = 10 + 5 \cdot 1 = 15$. Точка $(1, 15)$.
При $x=7$, $y_1 = 10 + 5 \cdot 7 = 45$. Точка $(7, 45)$.
Отметим на графике точки для $1 \le x \le 7$: $(1, 15), (2, 20), (3, 25), (4, 30), (5, 35), (6, 40), (7, 45)$.

Для $y_2 = 10 + 2x$:
При $x=1$, $y_2 = 10 + 2 \cdot 1 = 12$. Точка $(1, 12)$.
При $x=7$, $y_2 = 10 + 2 \cdot 7 = 24$. Точка $(7, 24)$.
Отметим на графике точки для $1 \le x \le 7$: $(1, 12), (2, 14), (3, 16), (4, 18), (5, 20), (6, 22), (7, 24)$.

В одной системе координат обе прямые будут выходить из точки $(0, 10)$. Прямая $y_1 = 10 + 5x$ будет идти круче (быстрее возрастать), чем прямая $y_2 = 10 + 2x$.

Ответ: Формула для первого способа: $y = 10 + 5x$. Формула для второго способа: $y = 10 + 2x$. Сумма будет увеличиваться быстрее в первом случае, так как скорость её роста (5 р. в день) больше, чем во втором (2 р. в день).

б)

Пусть $y$ — полученная сумма денег (заработок) в рублях, а $x$ — количество рабочих дней, где $x \ge 1$.

Вариант А: получать 50 р. в день. За $x$ дней Андрей получит $50x$ рублей. Формула зависимости:
$y_A = 50x$

Вариант B: в первый день получить 25 р., а затем ежедневно получать 50 р. Заработок состоит из 25 р. за первый день и по 50 р. за остальные $(x-1)$ дней. Формула зависимости:
$y_B = 25 + 50(x-1)$
Упростим выражение:
$y_B = 25 + 50x - 50 = 50x - 25$

Какой вариант выгоднее? Сравним $y_A = 50x$ и $y_B = 50x - 25$.
При любом количестве дней $x \ge 1$, величина $50x$ всегда будет на 25 больше, чем $50x - 25$. Следовательно, вариант А всегда выгоднее.

Построение графиков. Обе функции линейные.
Для $y_A = 50x$:
Точки для $1 \le x \le 5$: $(1, 50), (2, 100), (3, 150), (4, 200), (5, 250)$.
Для $y_B = 50x - 25$:
Точки для $1 \le x \le 5$: $(1, 25), (2, 75), (3, 125), (4, 175), (5, 225)$.
Графики этих функций — две параллельные прямые, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=50$. Прямая $y_A$ будет всегда выше прямой $y_B$.

Существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ равны? Чтобы это выяснить, приравняем выражения для $y_A$ и $y_B$:
$50x = 50x - 25$
$0 = -25$
Полученное равенство неверно, оно не зависит от $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Таким образом, не существует такого количества дней $x$, при котором заработок в обоих вариантах был бы одинаковым.

Ответ: Формула для варианта А: $y = 50x$. Формула для варианта B: $y = 50x - 25$. Вариант А выгоднее при любом количестве рабочих дней. Значений $x$, при которых значения $y$ равны, не существует.

АНАЛИЗИРУЕМ (799–801)

799 На рисунке 5.42 изображён график некоторого процесса.

Какая часть графика соответствует:

a) самому быстрому росту;

б) самому медленному росту;

в) самому быстрому убыванию;

г) самому медленному убыванию;

д) нулевой скорости изменения?

Рис. 5.42

Для анализа скорости изменения процесса, изображенного на графике, необходимо определить угловой коэффициент (скорость изменения) для каждого линейного участка. Угловой коэффициент $k$ для отрезка, соединяющего точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Рост процесса соответствует положительному угловому коэффициенту ($k > 0$).
• Убывание процесса соответствует отрицательному угловому коэффициенту ($k < 0$).
• Нулевая скорость изменения соответствует нулевому угловому коэффициенту ($k = 0$), то есть горизонтальному участку графика.
• Чем больше абсолютное значение (модуль) углового коэффициента $|k|$, тем выше скорость изменения.

Примем сторону одной клетки сетки за 1 единицу и вычислим угловые коэффициенты для всех участков графика:

• Участок AB: проходит через точки (0, 2) и (2, 4). $k_{AB} = \frac{4-2}{2-0} = \frac{2}{2} = 1$.
• Участок BC: проходит через точки (2, 4) и (4, 8). $k_{BC} = \frac{8-4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$.
• Участок CD: проходит через точки (4, 8) и (6, 6). $k_{CD} = \frac{6-8}{6-4} = \frac{-2}{2} = -1$.
• Участок DE: проходит через точки (6, 6) и (9, 6). $k_{DE} = \frac{6-6}{9-6} = \frac{0}{3} = 0$.
• Участок EF: проходит через точки (9, 6) и (11, 8). $k_{EF} = \frac{8-6}{11-9} = \frac{2}{2} = 1$.
• Участок FG: проходит через точки (11, 8) и (12, 5). $k_{FG} = \frac{5-8}{12-11} = \frac{-3}{1} = -3$.
• Участок GH: проходит через точки (12, 5) и (14, 4). $k_{GH} = \frac{4-5}{14-12} = \frac{-1}{2} = -0.5$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) самому быстрому росту; Рост происходит на участках AB, BC и EF с угловыми коэффициентами $k_{AB}=1$, $k_{BC}=2$ и $k_{EF}=1$ соответственно. Самый быстрый рост соответствует максимальному положительному коэффициенту. Сравнивая значения 1, 2 и 1, находим, что максимальное значение равно 2.
Ответ: BC.

б) самому медленному росту; Рост происходит на участках AB, BC и EF. Самый медленный рост соответствует минимальному положительному коэффициенту. Сравнивая значения 1, 2 и 1, находим, что минимальное значение равно 1.
Ответ: AB и EF.

в) самому быстрому убыванию; Убывание происходит на участках CD, FG и GH с угловыми коэффициентами $k_{CD}=-1$, $k_{FG}=-3$ и $k_{GH}=-0.5$. Скорость убывания определяется модулем коэффициента. Сравним модули: $|-1|=1$, $|-3|=3$, $|-0.5|=0.5$. Максимальный модуль равен 3, что соответствует самому быстрому убыванию.
Ответ: FG.

г) самому медленному убыванию; Убывание происходит на участках CD, FG и GH. Самое медленное убывание соответствует минимальному по модулю (отличному от нуля) коэффициенту. Сравним модули: $|-1|=1$, $|-3|=3$, $|-0.5|=0.5$. Минимальный модуль равен 0.5.
Ответ: GH.

д) нулевой скорости изменения? Нулевая скорость изменения соответствует участку, где угловой коэффициент равен нулю. Из наших расчетов, это участок DE, где $k_{DE} = 0$. График на этом участке является горизонтальной линией.
Ответ: DE.