Номер 797, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 797, страница 260.

Условие.

797 В одной системе координат постройте графики линейных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и определите значения $x$, при которых $f(x) = g(x)$; $f(x) > g(x)$; $f(x) < g(x):$

a) $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$;

б) $f(x) = x + 3$, $g(x) = -\frac{1}{3}x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = \frac{1}{2}x + 1$

Для построения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой, так как графиком линейной функции является прямая.

Для графика функции $y = f(x) = 2x - 5$:при $x=0, y = 2 \cdot 0 - 5 = -5$, получаем точку $(0, -5)$;при $x=3, y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$, получаем точку $(3, 1)$.Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = g(x) = \frac{1}{2}x + 1$:при $x=0, y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$, получаем точку $(0, 1)$;при $x=2, y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 2$, получаем точку $(2, 2)$.Проводим вторую прямую через эти точки в той же системе координат.

Теперь определим значения $x$, при которых выполняются заданные условия, анализируя положение графиков и решая соответствующие уравнения и неравенства.

$f(x) = g(x)$

Равенство функций выполняется при значении $x$, которое является абсциссой точки пересечения их графиков. Найдем эту абсциссу, решив уравнение:

$2x - 5 = \frac{1}{2}x + 1$

$2x - \frac{1}{2}x = 1 + 5$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$x = 4$

$f(x) > g(x)$

Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$. На графике это соответствует части прямой $y=f(x)$, которая находится справа от точки пересечения. Решим неравенство аналитически:

$2x - 5 > \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{3}{2}x > 6$

$x > 4$

$f(x) < g(x)$

Это неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен ниже графика функции $g(x)$. На графике это соответствует части прямой $y=f(x)$, которая находится слева от точки пересечения. Решим неравенство аналитически:

$2x - 5 < \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{3}{2}x < 6$

$x < 4$

Ответ: $f(x) = g(x)$ при $x=4$; $f(x) > g(x)$ при $x > 4$; $f(x) < g(x)$ при $x < 4$.

б) $f(x) = x + 3$, $g(x) = -\frac{1}{3}x$

Для построения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой.

Для графика функции $y = f(x) = x + 3$:при $x=0, y = 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$;при $x=-3, y = -3 + 3 = 0$, получаем точку $(-3, 0)$.Проводим прямую через эти две точки.

Для графика функции $y = g(x) = -\frac{1}{3}x$:при $x=0, y = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$, получаем точку $(0, 0)$;при $x=3, y = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$, получаем точку $(3, -1)$.Проводим вторую прямую через эти точки в той же системе координат.

Теперь определим значения $x$, при которых выполняются заданные условия.

$f(x) = g(x)$

Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение:

$x + 3 = -\frac{1}{3}x$

$x + \frac{1}{3}x = -3$

$\frac{4}{3}x = -3$

$x = -3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$

$f(x) > g(x)$

Неравенство выполняется, когда график $f(x)$ выше графика $g(x)$. Функция $f(x)$ возрастающая (угловой коэффициент $k=1>0$), а $g(x)$ убывающая ($k=-\frac{1}{3}<0$). Значит, после точки пересечения график $f(x)$ будет выше. Решим неравенство:

$x + 3 > -\frac{1}{3}x$

$\frac{4}{3}x > -3$

$x > -\frac{9}{4}$

$f(x) < g(x)$

Неравенство выполняется, когда график $f(x)$ ниже графика $g(x)$. Это происходит до точки пересечения. Решим неравенство:

$x + 3 < -\frac{1}{3}x$

$\frac{4}{3}x < -3$

$x < -\frac{9}{4}$

Ответ: $f(x) = g(x)$ при $x = -\frac{9}{4}$; $f(x) > g(x)$ при $x > -\frac{9}{4}$; $f(x) < g(x)$ при $x < -\frac{9}{4}$.