Номер 794, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 794, страница 259.

Условие.

794 Постройте график линейной функции. В каждом случае укажите:

1) возрастающей или убывающей является функция;

2) при каких значениях x значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.

а) $y = -0,3x + 2$;

б) $y = -2x + 1,5$;

в) $y = -0,7x$;

г) $y = 1,2x$;

д) $y = 1,5x - 2$;

е) $y = -0,5x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = -0,3x + 2$

Для построения графика данной линейной функции, который представляет собой прямую, найдем координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), подставив $x=0$:
$y = -0,3 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), подставив $y=0$:
$0 = -0,3x + 2 \implies 0,3x = 2 \implies x = \frac{2}{0,3} = \frac{20}{3}$. Получаем точку $(\frac{20}{3}; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(\frac{20}{3}; 0)$.

1) Угловой коэффициент функции $k = -0,3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2) Найдем, при каких значениях $x$ значения функции равны 0, больше 0, меньше 0.
• $y = 0$ при $-0,3x + 2 = 0$, что дает $x = \frac{20}{3}$.
• $y > 0$ при $-0,3x + 2 > 0 \implies -0,3x > -2 \implies x < \frac{20}{3}$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число).
• $y < 0$ при $-0,3x + 2 < 0 \implies -0,3x < -2 \implies x > \frac{20}{3}$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=\frac{20}{3}$; $y>0$ при $x < \frac{20}{3}$; $y<0$ при $x > \frac{20}{3}$.

б) $y = -2x + 1,5$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = -2 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Точка $(0; 1,5)$.
2. При $y=0$: $0 = -2x + 1,5 \implies 2x = 1,5 \implies x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(0,75; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-2x + 1,5 = 0$, что дает $x = 0,75$.
• $y > 0$ при $-2x + 1,5 > 0 \implies -2x > -1,5 \implies x < 0,75$.
• $y < 0$ при $-2x + 1,5 < 0 \implies -2x < -1,5 \implies x > 0,75$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=0,75$; $y>0$ при $x < 0,75$; $y<0$ при $x > 0,75$.

в) $y = -0,7x$

Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.
Для построения найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x=10$:
$y = -0,7 \cdot 10 = -7$. Получаем точку $(10; -7)$.
График — прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(10; -7)$.

1) Угловой коэффициент $k = -0,7$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-0,7x = 0$, что дает $x=0$.
• $y > 0$ при $-0,7x > 0 \implies x < 0$.
• $y < 0$ при $-0,7x < 0 \implies x > 0$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=0$; $y>0$ при $x < 0$; $y<0$ при $x > 0$.

г) $y = 1,2x$

Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.
Для построения найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x=5$:
$y = 1,2 \cdot 5 = 6$. Получаем точку $(5; 6)$.
График — прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(5; 6)$.

1) Угловой коэффициент $k = 1,2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

2)
• $y = 0$ при $1,2x = 0$, что дает $x=0$.
• $y > 0$ при $1,2x > 0 \implies x > 0$.
• $y < 0$ при $1,2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: функция возрастающая; $y=0$ при $x=0$; $y>0$ при $x > 0$; $y<0$ при $x < 0$.

д) $y = 1,5x - 2$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = 1,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
2. При $y=0$: $0 = 1,5x - 2 \implies 1,5x = 2 \implies x = \frac{2}{1,5} = \frac{4}{3}$. Точка $(\frac{4}{3}; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(\frac{4}{3}; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = 1,5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

2)
• $y = 0$ при $1,5x - 2 = 0$, что дает $x = \frac{4}{3}$.
• $y > 0$ при $1,5x - 2 > 0 \implies 1,5x > 2 \implies x > \frac{4}{3}$.
• $y < 0$ при $1,5x - 2 < 0 \implies 1,5x < 2 \implies x < \frac{4}{3}$.

Ответ: функция возрастающая; $y=0$ при $x=\frac{4}{3}$; $y>0$ при $x > \frac{4}{3}$; $y<0$ при $x < \frac{4}{3}$.

е) $y = -0,5x - 1$

Для построения прямой найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$: $y = -0,5 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
2. При $y=0$: $0 = -0,5x - 1 \implies -0,5x = 1 \implies x = -2$. Точка $(-2; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(-2; 0)$.

1) Угловой коэффициент $k = -0,5$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2)
• $y = 0$ при $-0,5x - 1 = 0$, что дает $x = -2$.
• $y > 0$ при $-0,5x - 1 > 0 \implies -0,5x > 1 \implies x < -2$.
• $y < 0$ при $-0,5x - 1 < 0 \implies -0,5x < 1 \implies x > -2$.

Ответ: функция убывающая; $y=0$ при $x=-2$; $y>0$ при $x < -2$; $y<0$ при $x > -2$.