Номер 804, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 804, страница 262.

Условие.

804 Муравей ползёт по шесту для флага, воткнутому вертикально в землю. Длина шеста 4 м. Муравей начал свой путь в 20 см от земли и ползёт вверх с постоянной скоростью 40 см/мин.

а) Задайте формулой расстояние $s$, на котором находится муравей от земли, как функцию времени его движения $t$.

б) Укажите область определения этой функции.

в) Постройте график функции, выбрав удобные единицы на осях.

г) Определите по графику, на какой высоте от земли муравей будет через 3 мин и через сколько минут он доползёт до вершины шеста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Расстояние $s$ (в сантиметрах), на котором находится муравей от земли, зависит от времени его движения $t$ (в минутах). Это расстояние складывается из начальной высоты и пути, который муравей прополз.
Начальная высота: 20 см.
Скорость муравья: 40 см/мин.
Путь, пройденный за время $t$: $40 \cdot t$ см.
Таким образом, функция, описывающая расстояние муравья от земли, имеет вид: $s(t) = 20 + 40t$.
Ответ: $s = 20 + 40t$, где $s$ измеряется в сантиметрах, а $t$ – в минутах.

б) Область определения функции — это все возможные значения времени $t$.
Движение начинается в момент времени $t=0$.
Движение заканчивается, когда муравей достигает вершины шеста. Длина шеста составляет 4 м, что равно $4 \cdot 100 = 400$ см.
Найдем время, когда высота $s$ станет равна 400 см:
$400 = 20 + 40t$
$40t = 400 - 20$
$40t = 380$
$t = \frac{380}{40} = \frac{38}{4} = 9,5$ минут.
Следовательно, время движения $t$ может изменяться от 0 до 9,5 минут включительно.
Ответ: Область определения функции: $t \in [0; 9,5]$.

в) Функция $s = 20 + 40t$ является линейной, её график — прямая линия. Поскольку у нас есть область определения $t \in [0; 9,5]$, графиком будет отрезок прямой.
Для построения графика выберем удобные единицы и найдем координаты двух точек (начальной и конечной):
1. Начальная точка (при $t=0$): $s = 20 + 40 \cdot 0 = 20$. Координаты точки: $(0; 20)$.
2. Конечная точка (при $t=9,5$): $s = 20 + 40 \cdot 9,5 = 20 + 380 = 400$. Координаты точки: $(9,5; 400)$.
Построим систему координат:

• Ось абсцисс (горизонтальная) — время $t$ в минутах. Удобный масштаб: 1 клетка = 1 минута.
• Ось ординат (вертикальная) — расстояние $s$ в сантиметрах. Удобный масштаб: 1 клетка = 50 см.

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 20)$ и $(9,5; 400)$ и соединим их отрезком.
Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 20)$ и $(9,5; 400)$ в системе координат, где по оси абсцисс отложено время $t$ в минутах, а по оси ординат — расстояние $s$ в сантиметрах.

г) Определим значения по графику (и проверим вычислениями).
1. Чтобы найти высоту муравья через 3 минуты, нужно на оси времени $t$ найти значение 3, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем провести горизонтальную линию до оси расстояния $s$. Эта линия укажет на значение 140.
Расчет: $s(3) = 20 + 40 \cdot 3 = 20 + 120 = 140$ см.
2. Чтобы найти, через сколько минут муравей доползёт до вершины шеста (высота 400 см), нужно на оси расстояния $s$ найти значение 400, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опустить перпендикуляр на ось времени $t$. Этот перпендикуляр укажет на значение 9,5.
Расчет (уже выполнен в пункте б)): $t = 9,5$ минут.
Ответ: Через 3 мин муравей будет на высоте 140 см от земли, а до вершины шеста он доползёт через 9,5 минут.