Номер 806, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 806, страница 262.

Условие.

806 АНАЛИЗИРУЕМ

Оптовый магазин продаёт тетради, устанавливая цену одной тетради таким образом: при покупке от 1 до 50 тетрадей — 2 р. за тетрадь, следующие 50—100 тетрадей — 1,5 р. за тетрадь и, наконец, каждая тетрадь сверх 100 штук — 1 р. за тетрадь. Какой из графиков (рис. 5.45) может быть использован для определения стоимости покупки $n$ тетрадей?

Цена, р.

$n$, шт.

①

Цена, р.

$n$, шт.

②

Цена, р.

$n$, шт.

③

Рис. 5.45

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо проанализировать, как меняется общая стоимость покупки $C$ в зависимости от количества тетрадей $n$. Мы разобьем задачу на три случая в соответствии с условием.

1. При покупке от 1 до 50 тетрадей ($1 \le n \le 50$):

Стоимость каждой тетради составляет 2 рубля. Общая стоимость покупки $C(n)$ вычисляется по формуле:

$C(n) = 2 \cdot n$

Это линейная функция, график которой — отрезок прямой, проходящий через начало координат. Угловой коэффициент (скорость роста стоимости) на этом участке равен 2. При покупке 50 тетрадей стоимость составит $C(50) = 2 \cdot 50 = 100$ рублей.

2. При покупке от 51 до 100 тетрадей ($51 \le n \le 100$):

Стоимость первых 50 тетрадей фиксирована и составляет 100 рублей. Каждая следующая тетрадь (с 51-й по 100-ю) стоит 1,5 рубля. Количество таких тетрадей равно $(n - 50)$. Таким образом, общая стоимость покупки вычисляется по формуле:

$C(n) = C(50) + 1.5 \cdot (n - 50) = 100 + 1.5n - 75 = 1.5n + 25$

На этом участке график также является отрезком прямой, но с меньшим угловым коэффициентом, равным 1,5. Это означает, что стоимость продолжает расти, но медленнее, чем на первом участке. Стоимость 100 тетрадей будет равна $C(100) = 1.5 \cdot 100 + 25 = 175$ рублей.

3. При покупке свыше 100 тетрадей ($n > 100$):

Стоимость первых 100 тетрадей фиксирована и составляет 175 рублей. Каждая тетрадь сверх 100 стоит 1 рубль. Количество таких тетрадей равно $(n - 100)$. Общая стоимость покупки вычисляется по формуле:

$C(n) = C(100) + 1 \cdot (n - 100) = 175 + n - 100 = n + 75$

На этом участке график снова является отрезком прямой с еще меньшим угловым коэффициентом, равным 1. Стоимость продолжает расти, но еще медленнее.

Сводный анализ и выбор графика:

Итоговая функция стоимости $C(n)$ является непрерывной и кусочно-линейной. Она состоит из трех отрезков прямых. Угловые коэффициенты (наклоны) этих отрезков последовательно уменьшаются: $2 \rightarrow 1.5 \rightarrow 1$. Это означает, что график функции должен становиться все более пологим по мере увеличения $n$.

Теперь рассмотрим предложенные графики:

• График ①: Этот график состоит из трех соединенных отрезков прямой. Наклон первого отрезка самый большой, наклон второго меньше, а наклон третьего — самый маленький. График непрерывно возрастает, но скорость роста замедляется. Это в точности соответствует нашему анализу.
• График ②: Этот график также состоит из трех отрезков, но их наклон последовательно увеличивается. Это бы соответствовало ситуации, когда цена за тетрадь растет при увеличении количества, что противоречит условию задачи.
• График ③: Этот график является ступенчатым и показывает, как меняется цена за одну тетрадь в зависимости от общего количества. Он не показывает общую стоимость покупки. Например, при $n=50$ общая стоимость равна 100 р., а не 2 р.

Следовательно, для определения общей стоимости покупки $n$ тетрадей подходит только график ①.

Ответ: График ①.