Номер 808, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 808, страница 263.

Условие.

808 На рисунке 5.46 построен график функции

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 3, & \text{если } x \le 2 \\ x - 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2; -2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы:

а) Какова область определения функции?

б) Чему равно значение функции при $x = -1$; 0; 1; 2; 3?

в) Сколько нулей имеет функция?

г) На каких промежутках функция возрастает? убывает?

д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Рис. 5.46

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Какова область определения функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная кусочно-линейная функция определена для всех $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 2$ или условию $x > 2$. Объединение этих двух множеств, $(-\infty; 2] \cup (2; +\infty)$, представляет собой всю числовую прямую.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) Чему равно значение функции при $x = -1; 0; 1; 2; 3$?

Для нахождения значений функции необходимо подставить заданные значения $x$ в соответствующую формулу в зависимости от того, какому промежутку принадлежит $x$.

При $x = -1$, так как $-1 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$:
$f(-1) = -\frac{1}{2}(-1) + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$.

При $x = 0$, так как $0 \le 2$, используем первую формулу:
$f(0) = -\frac{1}{2}(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.

При $x = 1$, так как $1 \le 2$, используем первую формулу:
$f(1) = -\frac{1}{2}(1) + 3 = -0.5 + 3 = 2.5$.

При $x = 2$, так как $2 \le 2$, используем первую формулу:
$f(2) = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$.

При $x = 3$, так как $3 > 2$, используем вторую формулу $f(x) = x - 4$:
$f(3) = 3 - 4 = -1$.

Ответ: $f(-1) = 3.5$; $f(0) = 3$; $f(1) = 2.5$; $f(2) = 2$; $f(3) = -1$.

в) Сколько нулей имеет функция?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$. Найдем нули для каждой части функции.

1. Для $x \le 2$: решаем уравнение $-\frac{1}{2}x + 3 = 0$. Получаем $-\frac{1}{2}x = -3$, откуда $x = 6$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, на данном промежутке нулей нет.

2. Для $x > 2$: решаем уравнение $x - 4 = 0$. Получаем $x = 4$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это нуль функции.

Таким образом, функция имеет только один нуль.

Ответ: Функция имеет один нуль.

г) На каких промежутках функция возрастает? убывает?

Направление изменения функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента для каждой линейной части.

На промежутке $(-\infty; 2]$ функция $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ имеет угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция на этом промежутке убывает.

На промежутке $(2; +\infty)$ функция $f(x) = x - 4$ имеет угловой коэффициент $k = 1$. Так как $k > 0$, функция на этом промежутке возрастает.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Для определения промежутков знакопостоянства найдем, где $f(x) > 0$ и где $f(x) < 0$. Мы уже знаем, что функция обращается в ноль при $x=4$.

Функция положительна ($f(x) > 0$):
1. На промежутке $(-\infty; 2]$ наименьшее значение функции достигается при $x=2$ и равно $f(2)=2$. Так как наименьшее значение положительно, функция положительна на всем этом промежутке.
2. На промежутке $(2; +\infty)$ решаем неравенство $x - 4 > 0$, откуда $x > 4$.
Объединяя результаты, функция положительна на $(-\infty; 2] \cup (4; +\infty)$.

Функция отрицательна ($f(x) < 0$):
1. На промежутке $(-\infty; 2]$ функция всегда положительна.
2. На промежутке $(2; +\infty)$ решаем неравенство $x - 4 < 0$, откуда $x < 4$. С учетом условия $x > 2$, получаем, что функция отрицательна на промежутке $(2; 4)$.

Ответ: Функция положительна на промежутках $(-\infty; 2]$ и $(4; +\infty)$; отрицательна на промежутке $(2; 4)$.