Номер 807, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 807, страница 263.

Условие.

807 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -\frac{x}{3}, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{3}, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x-2}{2}, & \text{если } x \le -2 \\ -2, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ \frac{x-6}{2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для построения графика функции $y = \begin{cases} -\frac{x}{3}, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{3}, & \text{если } -1 < x < 1 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ рассмотрим каждый её участок.

1. На промежутке $x \le -1$ имеем линейную функцию $y = -\frac{x}{3}$. Её график — это луч. Для его построения найдём координаты двух точек. При $x = -1$, $y = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(-1, \frac{1}{3})$ принадлежит графику (закрашенная). При $x = -4$, $y = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$. Вторая точка — $(-4, \frac{4}{3})$. Проводим луч через эти две точки с началом в $(-1, \frac{1}{3})$.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ функция постоянна: $y = \frac{1}{3}$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой, концы которого не входят в график (выколотые точки). Левая граница отрезка соответствует точке $(-1, \frac{1}{3})$, а правая — $(1, \frac{1}{3})$. Так как в точке $x=-1$ значение функции, определённое на первом участке, равно $\frac{1}{3}$, то выколотая точка $(-1, \frac{1}{3})$ "закрывается", и разрыва в этой точке нет.

3. На промежутке $x > 1$ имеем линейную функцию $y = \frac{x}{3}$. Её график — луч. Начало луча — выколотая точка, так как неравенство строгое. Её координаты найдём, подставив $x=1$: $y = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$. Для построения возьмём ещё одну точку, например, при $x = 4$, $y = \frac{4}{3}$. Точка $(4, \frac{4}{3})$. Проводим луч из выколотой точки $(1, \frac{1}{3})$ через точку $(4, \frac{4}{3})$.

Объединяя все части, видим, что в точке $x=1$ функция не определена. Предел слева и предел справа в этой точке совпадают и равны $\frac{1}{3}$. Это означает, что в точке $(1, \frac{1}{3})$ на графике будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из луча $y = -x/3$ на $(-\infty, -1]$, горизонтального отрезка $y=1/3$ на $(-1, 1)$ и луча $y=x/3$ на $(1, \infty)$. График непрерывен в точке $x=-1$. В точке $x=1$ имеется разрыв (устранимый), на графике это выколотая точка с координатами $(1, 1/3)$.

б) Для построения графика функции $y = \begin{cases} \frac{x-2}{2}, & \text{если } x \le -2 \\ -2, & \text{если } -2 < x < 2 \\ \frac{x-6}{2}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый её участок.

1. На промежутке $x \le -2$ имеем линейную функцию $y = \frac{x-2}{2} = \frac{1}{2}x - 1$. Её график — это луч. Найдём координаты двух точек. При $x = -2$, $y = \frac{-2-2}{2} = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику (закрашенная). При $x = -4$, $y = \frac{-4-2}{2} = -3$. Вторая точка — $(-4, -3)$. Проводим луч через эти две точки с началом в $(-2, -2)$.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ функция постоянна: $y = -2$. Её график — это горизонтальный отрезок прямой с выколотыми концами. Левая граница отрезка соответствует точке $(-2, -2)$, а правая — $(2, -2)$. Так как в точке $x=-2$ значение функции, определённое на первом участке, равно $-2$, то выколотая точка $(-2, -2)$ "закрывается", и разрыва в этой точке нет.

3. На промежутке $x > 2$ имеем линейную функцию $y = \frac{x-6}{2} = \frac{1}{2}x - 3$. Её график — луч. Начало луча — выколотая точка, так как неравенство строгое. Её координаты найдём, подставив $x=2$: $y = \frac{2-6}{2} = -2$. Точка $(2, -2)$. Для построения возьмём ещё одну точку, например, при $x = 6$, $y = \frac{6-6}{2} = 0$. Точка $(6, 0)$. Проводим луч из выколотой точки $(2, -2)$ через точку $(6, 0)$.

Объединяя все части, видим, что в точке $x=2$ функция не определена. Предел слева и предел справа в этой точке совпадают и равны $-2$. Это означает, что в точке $(2, -2)$ на графике будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из луча $y = \frac{1}{2}x - 1$ на $(-\infty, -2]$, горизонтального отрезка $y=-2$ на $(-2, 2)$ и луча $y = \frac{1}{2}x - 3$ на $(2, \infty)$. График непрерывен в точке $x=-2$. В точке $x=2$ имеется разрыв (устранимый), на графике это выколотая точка с координатами $(2, -2)$.