Номер 2, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 5.6. Функция у =k/x и её график. Глава 5. Функции - номер 2, страница 267.

Условие.

Опираясь на график функции $y=\frac{12}{x}$, изображённый на рисунке 5.49, опишите особенности графика функции $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Функция $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. На основе примера графика функции $y=\frac{12}{x}$ можно выделить следующие общие особенности для всех функций вида $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$.

1. Область определения

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений

Так как $k \ne 0$, то значение дроби $\frac{k}{x}$ никогда не будет равно нулю. Функция может принимать любые другие действительные значения.

Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Расположение графика

График функции состоит из двух частей, называемых ветвями. Поскольку $k > 0$, знак $y$ совпадает со знаком $x$.

• Если $x > 0$, то $y > 0$ — ветвь графика находится в I координатной четверти.
• Если $x < 0$, то $y < 0$ — ветвь графика находится в III координатной четверти.

Ответ: Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

4. Асимптоты

Ветви гиперболы неограниченно приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают. Такие линии называются асимптотами.

• Ось $Ox$ (уравнение $y=0$) является горизонтальной асимптотой.
• Ось $Oy$ (уравнение $x=0$) является вертикальной асимптотой.

Ответ: Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

5. Симметрия

Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат.

6. Монотонность (промежутки убывания)

При $k>0$ с увеличением положительного значения $x$ значение $y$ уменьшается, и с увеличением по модулю отрицательного значения $x$ (т.е. при движении от $0$ к $-\infty$) значение $y$ также уменьшается. Функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

7. Нули функции

Функция не обращается в ноль ни при каких значениях $x$, так как дробь $\frac{k}{x}$ равна нулю только если числитель $k=0$, что противоречит условию $k > 0$. График не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Ответ: Нулей у функции нет.

8. Влияние коэффициента k

Коэффициент $k$ влияет на "крутизну" и расположение ветвей гиперболы. Чем больше абсолютное значение $k$, тем дальше от осей координат располагаются ветви графика. Например, для точки с абсциссой $x=1$ ордината будет равна $y=k$. С ростом $k$ эта точка будет находиться всё выше, "оттягивая" за собой всю ветвь гиперболы от осей.

Ответ: Чем больше значение $k > 0$, тем дальше ветви гиперболы расположены от начала координат.