Номер 812, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. 5.6. Функция у =k/x и её график. Упражнения - номер 812, страница 267.

Условие.

812 Функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$.

а) Заполните таблицу:

x: 1, 2, 3, 4, 6, -1, -2, -3, -4, -6

y: (пусто)

б) Постройте график функции.

в) Определите промежуток, на котором значения функции положительны; отрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо подставить каждое значение $x$ из верхней строки в формулу функции $y = \frac{6}{x}$ и вычислить соответствующее значение $y$.

• При $x=1$, $y = \frac{6}{1} = 6$
• При $x=2$, $y = \frac{6}{2} = 3$
• При $x=3$, $y = \frac{6}{3} = 2$
• При $x=4$, $y = \frac{6}{4} = 1,5$
• При $x=6$, $y = \frac{6}{6} = 1$
• При $x=-1$, $y = \frac{6}{-1} = -6$
• При $x=-2$, $y = \frac{6}{-2} = -3$
• При $x=-3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$
• При $x=-4$, $y = \frac{6}{-4} = -1,5$
• При $x=-6$, $y = \frac{6}{-6} = -1$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

$x$	1	2	3	4	6	-1	-2	-3	-4	-6
$y$	6	3	2	1,5	1	-6	-3	-2	-1,5	-1

Ответ: см. заполненную таблицу.

б) Графиком функции $y = \frac{6}{x}$ является гипербола. Для построения графика используем точки из таблицы, вычисленные в предыдущем пункте.

1. Построим прямоугольную систему координат $Oxy$.

2. Отметим на плоскости точки, координаты которых мы нашли: $(1; 6)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(4; 1,5)$, $(6; 1)$. Эти точки лежат в I координатной четверти.

3. Соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая является одной из ветвей гиперболы. Она приближается к оси $Ox$ при увеличении $x$ и к оси $Oy$ при приближении $x$ к нулю справа.

4. Аналогично отметим точки с отрицательными координатами: $(-1; -6)$, $(-2; -3)$, $(-3; -2)$, $(-4; -1,5)$, $(-6; -1)$. Эти точки лежат в III координатной четверти.

5. Соединим их плавной кривой, чтобы получить вторую ветвь гиперболы. Эта ветвь приближается к оси $Ox$ при уменьшении $x$ (когда $x$ стремится к $-\infty$) и к оси $Oy$ при приближении $x$ к нулю слева.

Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для графика данной функции, то есть график бесконечно к ним приближается, но никогда не пересекает.

Ответ: графиком функции является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами графика.

в) Чтобы определить, на каких промежутках значения функции положительны или отрицательны, проанализируем выражение $y = \frac{6}{x}$.

Значения функции положительны ($y > 0$), если числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. Числитель 6 всегда положителен. Следовательно, для того чтобы $y$ был положителен, знаменатель $x$ также должен быть положителен. Таким образом, $y > 0$ при $x > 0$.

Значения функции отрицательны ($y < 0$), если числитель и знаменатель дроби имеют разные знаки. Так как числитель 6 положителен, знаменатель $x$ должен быть отрицателен. Таким образом, $y < 0$ при $x < 0$.

Это также видно из графика: ветвь в I четверти (где $x > 0$) лежит выше оси $Ox$ (то есть $y > 0$), а ветвь в III четверти (где $x < 0$) лежит ниже оси $Ox$ (то есть $y < 0$).

Ответ: значения функции положительны на промежутке $(0; +\infty)$; значения функции отрицательны на промежутке $(-\infty; 0)$.