Страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие из функций, заданных формулами $y = 3x - 10$, $y = \frac{8}{x}$, $y = x^2 + 1$, $y = -3x$, $y = x^3$, $y = 15$, являются линейными (обоснуйте ответ)? Что является графиком линейной функции?

Какие из функций являются линейными (обоснуйте ответ)

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Проанализируем каждую из заданных функций:

• $y = 3x - 10$. Эта функция является линейной. Она соответствует общему виду $y = kx + b$, где коэффициенты $k = 3$ и $b = -10$.

• $y = \frac{8}{x}$. Эта функция не является линейной. Это обратная пропорциональность, так как независимая переменная $x$ находится в знаменателе.

• $y = x^2 + 1$. Эта функция не является линейной. Это квадратичная функция, так как переменная $x$ возведена во вторую степень.

• $y = -3x$. Эта функция является линейной. Это частный случай, называемый прямой пропорциональностью. Её можно записать в виде $y = -3x + 0$, где $k = -3$ и $b = 0$.

• $y = x^3$. Эта функция не является линейной. Это кубическая функция, так как переменная $x$ возведена в третью степень.

• $y = 15$. Эта функция является линейной. Это частный случай, когда угловой коэффициент равен нулю. Её можно записать в виде $y = 0 \cdot x + 15$, где $k = 0$ и $b = 15$.

Ответ: Линейными являются функции: $y = 3x - 10$, $y = -3x$ и $y = 15$.

Что является графиком линейной функции?

Графиком любой линейной функции вида $y = kx + b$ является прямая линия. Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет угол наклона этой прямой относительно положительного направления оси абсцисс ($Ox$), а коэффициент $b$ — ординату точки пересечения прямой с осью ординат ($Oy$).

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

Какую линейную функцию называют прямой пропорциональностью и какую – константой? Среди функций из предыдущего задания найдите прямую пропорциональность и константу; покажите схематическое расположение графиков этих функций на координатной плоскости.

s, км

Какую линейную функцию называют прямой пропорциональностью и какую — константой?

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа.

Прямой пропорциональностью называют частный случай линейной функции, у которой свободный член $b=0$. Формула прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$ (при $k \neq 0$). Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат, то есть точку $(0, 0)$.

Константой (или постоянной функцией) называют другой частный случай линейной функции, у которой угловой коэффициент $k=0$. Формула функции-константы имеет вид $y = b$. Эта функция принимает одно и то же значение $b$ при любом значении аргумента $x$. Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $x$) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат (оси $y$).

Ответ: Прямой пропорциональностью называют функцию вида $y = kx$ (где $k \neq 0$), а константой — функцию вида $y = b$.

Среди функций из предыдущего задания найдите прямую пропорциональность и константу

Поскольку текст "предыдущего задания" не предоставлен, рассмотрим гипотетический набор функций, которые могли бы его составлять. Предположим, что в предыдущем задании были даны следующие зависимости пройденного пути $s$ (в км) от времени $t$ (в ч):

1. $s(t) = 15t$

2. $s(t) = 60$

3. $s(t) = 10t + 5$

Среди этих функций можно выделить:

Прямую пропорциональность: это функция $s(t) = 15t$. Она полностью соответствует общей формуле $y=kx$ (в данном случае $s=kt$), где коэффициент $k=15$, а свободный член $b=0$. Физически это описывает движение с постоянной скоростью 15 км/ч из начальной точки.

Константу: это функция $s(t) = 60$. Она соответствует общей формуле $y=b$ (в данном случае $s=b$), где коэффициент $k=0$ и $b=60$. Физически это означает, что объект не движется, а находится на расстоянии 60 км от начальной точки в любой момент времени.

Функция $s(t) = 10t + 5$ является линейной, но не является ни прямой пропорциональностью (так как $b=5 \neq 0$), ни константой (так как $k=10 \neq 0$).

Ответ: На основе гипотетического набора функций, прямой пропорциональностью является функция $s(t) = 15t$, а константой — функция $s(t) = 60$.

Покажите схематическое расположение графиков этих функций на координатной плоскости

На координатной плоскости, где по оси ординат откладывается расстояние $s$, а по оси абсцисс — время $t$, графики прямой пропорциональности и константы имеют следующий схематический вид:

1. График прямой пропорциональности (вида $s = kt$ при $k>0$) — это прямая линия, которая начинается в начале координат (0,0) и идет вверх. Угол её наклона к оси времени $t$ определяется коэффициентом $k$ (скоростью).

2. График константы (вида $s = b$) — это горизонтальная прямая, параллельная оси времени $t$. Она пересекает ось расстояния $s$ в точке со значением $b$.

Ответ: График прямой пропорциональности представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. График константы — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Для определения, является ли линейная функция, заданная формулой $y = kx + b$, возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать знак ее углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

Найдем функции, для которых угловой коэффициент $k$ положителен.

• Для функции $y = \frac{1}{3}x$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} > 0$, функция является возрастающей.

• Для функции $y = 2x - 2$, угловой коэффициент $k = 2$. Так как $2 > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$.

Найдем функции, для которых угловой коэффициент $k$ отрицателен.

• Для функции $y = -5x + 1$, угловой коэффициент $k = -5$. Так как $-5 < 0$, функция является убывающей.

• Для функции $y = -4x$, угловой коэффициент $k = -4$. Так как $-4 < 0$, функция является убывающей.

Ответ: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$.

Графиком каждой линейной функции является прямая. Ее положение на плоскости определяется угловым коэффициентом $k$ (отвечает за наклон и направление) и свободным членом $b$ (определяет точку пересечения с осью ординат $OY$).

• $y = \frac{1}{3}x$: возрастающая ($k = \frac{1}{3}$), проходит через начало координат ($b=0$). График расположен в I и III координатных четвертях.

• $y = 2x - 2$: возрастающая ($k = 2$), пересекает ось $OY$ в точке $(0, -2)$. Так как $2 > \frac{1}{3}$, эта прямая имеет больший угол наклона к оси $OX$. График расположен в I, III и IV четвертях.

• $y = -4x$: убывающая ($k = -4$), проходит через начало координат ($b=0$). График расположен во II и IV четвертях.

• $y = -5x + 1$: убывающая ($k = -5$), пересекает ось $OY$ в точке $(0, 1)$. Так как $|-5| > |-4|$, эта прямая является более "крутой" (наклонена под большим углом к оси $OX$), чем график $y = -4x$. График расположен в I, II и IV четвертях.

Ниже представлена схема расположения графиков данных функций.

Ответ: Схема расположения графиков показана на рисунке выше. Прямые $y=\frac{1}{3}x$ и $y=2x-2$ являются возрастающими, а прямые $y=-5x+1$ и $y=-4x$ — убывающими.

кое расположение графиков этих функций на координатной плоскости.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

На рисунке 5.39 изображены графики движения двух спортсменов (А и Б), участвовавших в соревнованиях по спортивной ходьбе. Кто из них шёл с постоянной скоростью?

Для каких из множеств точек (рис. 5.40, а–г) мож-

Рис. 5.39

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Линейная функция задаётся уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью OY.

Характер монотонности функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, функция является возрастающей.
• Если $k < 0$, функция является убывающей.

Проанализируем каждую из заданных функций:

• $y = -5x + 1$: угловой коэффициент $k = -5$. Так как $-5 < 0$, функция является убывающей.
• $y = \frac{1}{3}x$: угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} > 0$, функция является возрастающей.
• $y = -4x$: угловой коэффициент $k = -4$. Так как $-4 < 0$, функция является убывающей.
• $y = 2x - 2$: угловой коэффициент $k = 2$. Так как $2 > 0$, функция является возрастающей.

Таким образом, мы можем разделить функции на две группы:

Возрастающие функции: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$.

Убывающие функции: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$.

Схематическое расположение графиков этих функций на координатной плоскости показано на рисунке ниже. Графиком каждой линейной функции является прямая линия. Угол наклона прямой к оси ОХ зависит от коэффициента $k$, а точка пересечения с осью OY — от коэффициента $b$.

Ответ: Возрастающие функции: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$. Убывающие функции: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$. Схематическое расположение графиков представлено на рисунке.

На рисунке 5.39 изображены графики движения двух спортсменов (А и Б), участвовавших в соревнованиях по спортивной ходьбе. Кто из них шёл с постоянной скоростью?

В задачах на движение, где по осям отложены время ($t$) и расстояние ($s$), скорость объекта в каждый момент времени определяется наклоном графика. Постоянная скорость означает, что наклон графика не меняется на всём пути. Графиком движения с постоянной скоростью является прямая линия.

Проанализируем графики на рисунке 5.39:

• График А — это прямая линия, которая начинается в точке (0,0). Это означает, что спортсмен А двигался с постоянной скоростью с самого начала соревнований.
• График Б — это кривая линия. Её наклон постепенно увеличивается, что говорит о том, что скорость спортсмена Б не была постоянной, а росла со временем. Такой вид движения называется движением с ускорением.

Таким образом, спортсмен, который шёл с постоянной скоростью, — это спортсмен А.

Ответ: С постоянной скоростью шёл спортсмен А.

Для каких из множеств точек (рис. 5.40, а–г) можно подобрать аппроксимирующую прямую, а для каких нельзя? Рис. 5.39

а) $y$ $x$ $0$

б) $y$ $x$ $0$

в) $y$ $x$ $0$

г) $y$ $x$ $0$

Рис. 5.40

Аппроксимирующая прямая (или линия регрессии) — это прямая, которая наилучшим образом описывает зависимость между двумя переменными, представленными в виде множества точек на графике. Она полезна в тех случаях, когда между переменными существует линейная или близкая к линейной зависимость. Проанализируем каждый случай.

а) На этом графике точки расположены вдоль воображаемой прямой, идущей снизу слева вверх направо. Это указывает на наличие прямой положительной корреляции: с увеличением значения x в среднем увеличивается и значение y. Для такого множества точек можно подобрать аппроксимирующую прямую вида $y = kx + b$ с положительным угловым коэффициентом ($k > 0$), которая будет хорошо описывать общую тенденцию.

Ответ: можно.

б) Точки на этом графике образуют четкую параболическую (U-образную) кривую. Зависимость между x и y сильная, но она не является линейной. Попытка провести прямую через эти точки привела бы к очень плохой аппроксимации, так как прямая не может отразить изгиб. Здесь более подходящей была бы аппроксимация квадратичной функцией, например, $y = ax^2 + bx + c$.

Ответ: нельзя.

в) В этом случае точки также выстраиваются вдоль воображаемой прямой, но на этот раз она идет сверху слева вниз направо. Это свидетельствует о наличии прямой отрицательной корреляции: с увеличением x значение y в среднем уменьшается. Для этого множества точек также можно подобрать хорошую аппроксимирующую прямую $y = kx + b$, но с отрицательным угловым коэффициентом ($k < 0$).

Ответ: можно.

г) Точки на графике разбросаны в виде "облака" без какой-либо выраженной направленности. Не наблюдается никакой систематической зависимости между x и y — ни линейной, ни какой-либо другой. Корреляция между переменными близка к нулю. Хотя формально можно вычислить параметры "наилучшей" прямой методом наименьших квадратов, она не будет иметь практического смысла и не сможет адекватно описать данные, так как никакой явной тенденции в них нет.

Ответ: нельзя.

790 Сумма углов выпуклого многоугольника, имеющего $n$ сторон, вычисляется по формуле $M = 180n - 360$. Объясните, почему эта функция является линейной. Укажите область определения функции. Возрастающей или убывающей является функция? Найдите сумму углов выпуклого многоугольника при $n=3; 4; 10$.

Почему эта функция является линейной?

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Заданная функция $M = 180n - 360$ описывает зависимость суммы углов многоугольника $M$ от количества его сторон $n$. Эту функцию можно представить в виде $M(n) = 180n - 360$. Если сравнить ее с общим видом линейной функции, то видно, что она полностью соответствует этой форме, где:

• $M$ играет роль $y$ (зависимая переменная).
• $n$ играет роль $x$ (независимая переменная).
• Коэффициент (угловой коэффициент) $k = 180$.
• Свободный член $b = -360$.

Поскольку функция $M(n)$ может быть представлена в виде $kn+b$, она является линейной.

Ответ: эта функция является линейной, так как она имеет вид $M(n) = kn + b$, где $k=180$ и $b=-360$.

Укажите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной, в данном случае — $n$. Переменная $n$ обозначает количество сторон выпуклого многоугольника. По определению, многоугольник должен иметь не менее трех сторон (самый простой многоугольник — треугольник). Кроме того, количество сторон может быть только целым числом. Следовательно, переменная $n$ может принимать любые целые значения, начиная с 3.

Ответ: область определения функции — множество натуральных чисел $n \ge 3$, то есть $n \in \{3, 4, 5, ...\}$.

Возрастающей или убывающей является функция?

Характер монотонности линейной функции $y = kx + b$ зависит от знака углового коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, функция является возрастающей.
• Если $k < 0$, функция является убывающей.

В нашей функции $M(n) = 180n - 360$ угловой коэффициент $k = 180$. Поскольку $180 > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что с увеличением числа сторон многоугольника сумма его внутренних углов также увеличивается.

Ответ: функция является возрастающей.

Найдите сумму углов выпуклого многоугольника при n = 3; 4; 10.

Для нахождения суммы углов нужно подставить заданные значения $n$ в формулу $M = 180n - 360$.

• При $n = 3$ (треугольник):
  $M(3) = 180 \cdot 3 - 360 = 540 - 360 = 180^\circ$.
• При $n = 4$ (четырехугольник):
  $M(4) = 180 \cdot 4 - 360 = 720 - 360 = 360^\circ$.
• При $n = 10$ (десятиугольник):
  $M(10) = 180 \cdot 10 - 360 = 1800 - 360 = 1440^\circ$.

Ответ: при $n=3$ сумма углов равна $180^\circ$; при $n=4$ — $360^\circ$; при $n=10$ — $1440^\circ$.