Страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

По графику температуры (см. рис. 5.6, с. 230) определите:

а) наибольшее и наименьшее значения температуры в течение суток;

б) промежутки времени, когда температура была выше $0^\circ C$; ниже $0^\circ C$;

в) промежутки времени, когда температура повышалась; понижалась.

Для решения этой задачи необходим график температуры (рис. 5.6), который не был предоставлен. Ниже приведено подробное руководство, как, имея этот график, найти все требуемые величины.

Предполагается, что на графике по горизонтальной оси (оси абсцисс) отложено время (в часах), а по вертикальной оси (оси ординат) — температура (в градусах Цельсия, $T, °C$).

а) наибольшее и наименьшее значения температуры в течение суток;

Для нахождения наибольшего значения температуры необходимо найти на графике самую высокую точку (пик, или максимум). Значение на вертикальной оси (оси температур), соответствующее этой точке, и будет искомой величиной.

Аналогично, для нахождения наименьшего значения температуры нужно найти самую низкую точку на графике (впадину, или минимум). Соответствующее ей значение на вертикальной оси температур будет наименьшей температурой за сутки.

Ответ: Наибольшее значение температуры определяется по самой высокой точке графика, а наименьшее — по самой низкой. Ответ должен быть представлен в виде двух чисел, например: "Наибольшая температура: 15 $°C$, наименьшая: -4 $°C$".

б) промежутки времени, когда температура была выше 0 °C; ниже 0 °C;

Найдите на вертикальной оси отметку $0~°C$ и проведите через нее мысленно горизонтальную линию. Эта линия разделяет плоскость графика на две области: область положительных и область отрицательных температур.

Чтобы найти промежутки, когда температура была выше $0~°C$, определите все части графика, расположенные над этой горизонтальной линией ($T=0~°C$). Затем найдите на горизонтальной оси (оси времени) соответствующие этим частям временные интервалы.

Чтобы найти промежутки, когда температура была ниже $0~°C$, определите все части графика, расположенные под этой горизонтальной линией, и найдите соответствующие им временные интервалы.

Ответ: Промежутки, когда температура была выше $0~°C$, соответствуют интервалам по оси времени, где график находится выше отметки $0~°C$. Промежутки, когда температура была ниже $0~°C$, соответствуют интервалам, где график находится ниже этой отметки. Ответ должен быть представлен в виде временных интервалов, например: "Выше $0~°C$: с 9:00 до 21:00; Ниже $0~°C$: с 0:00 до 9:00 и с 21:00 до 24:00".

в) промежутки времени, когда температура повышалась; понижалась.

Промежутки повышения температуры (возрастания) — это те временные интервалы, в течение которых график "идет вверх" (при просмотре слева направо). Это означает, что с течением времени значение температуры увеличивалось.

Промежутки понижения температуры (убывания) — это те временные интервалы, в течение которых график "идет вниз". Это означает, что температура уменьшалась.

Точки, в которых график меняет направление (с подъема на спуск или наоборот), являются границами этих временных промежутков. Эти точки называются точками экстремума (максимума и минимума).

Ответ: Промежутки повышения температуры соответствуют участкам графика, где он возрастает. Промежутки понижения температуры — участкам, где он убывает. Ответ должен быть представлен в виде временных интервалов, например: "Повышалась: с 5:00 до 17:00; Понижалась: с 0:00 до 5:00 и с 17:00 до 24:00".

По графику функции $y = f(x)$ (фрагмент 2, рис. 5.28) определите:

а) значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение;

б) промежутки, на которых значения функции положительны;

в) промежутки, на которых функция убывает;

б) нули функции.

Поскольку изображение содержит только текст задания, но не сам график функции (фрагмент 2, рис. 5.28), предоставить конкретные численные ответы невозможно. Вместо этого, ниже приведено подробное объяснение, как найти требуемые характеристики функции, имея ее график.

а) значение x, при котором функция принимает наибольшее значение

Чтобы найти значение $x$, при котором функция достигает своего наибольшего значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите на графике самую высокую точку. Это точка глобального максимума функции на рассматриваемом промежутке.
2. Определите координаты этой точки. Пусть это будет точка с координатами $(x_{max}, y_{max})$.
3. Наибольшее значение функции равно ординате этой точки, то есть $y_{max}$.
4. Вопрос требует найти значение $x$, при котором это наибольшее значение достигается. Это абсцисса данной точки, то есть $x_{max}$.

Например, если самая высокая точка на графике имеет координаты $(2, 8)$, то наибольшее значение функции равно 8, и достигается оно при $x = 2$.
Ответ: $x = x_{max}$

б) промежутки, на которых значения функции положительны

Промежутки, на которых значения функции положительны, — это те интервалы по оси $x$, для которых график функции расположен выше оси абсцисс ($Ox$).

1. Найдите на оси $Ox$ точки, в которых график функции ее пересекает (нули функции).
2. Определите все участки графика, которые лежат выше оси $Ox$.
3. Для каждого такого участка запишите соответствующий интервал значений $x$. Границы интервалов (нули функции) не включаются, так как в этих точках значение функции равно нулю, а не положительно, поэтому используются круглые скобки.

Например, если график находится выше оси $Ox$ между точками $x = -3$ и $x = 5$, то искомый промежуток будет $(-3, 5)$. Если таких промежутков несколько, их перечисляют через знак объединения, например, $(-7, -1) \cup (4, 9)$.
Ответ: Промежутки вида $(a, b)$, $(c, d)$, ...

в) промежутки, на которых функция убывает

Промежутки убывания функции — это те интервалы по оси $x$, на которых при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. На графике это выглядит как движение "с горки" при взгляде слева направо.

1. Найдите на графике точки, в которых направление движения меняется с возрастания на убывание (точки максимума) или с убывания на возрастание (точки минимума).
2. Определите все участки графика, на которых линия идет вниз.
3. Для каждого такого участка запишите соответствующий промежуток значений $x$. Точки максимумов и минимумов (точки экстремума) обычно включают в промежутки убывания и возрастания, поэтому используются квадратные скобки.

Например, если функция возрастает до точки $x = 1$, а затем убывает до точки $x = 6$, то промежуток убывания будет $[1, 6]$.
Ответ: Промежутки вида $[a, b]$, $[c, d]$, ...

б) нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю.

1. Найдите на графике точки, в которых он пересекает или касается оси абсцисс ($Ox$).
2. Абсциссы (координаты $x$) этих точек и являются нулями функции.

Например, если график пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$, то нулями функции будут числа -4, 0 и 3.
Ответ: $x_1, x_2, \dots$

АНАЛИЗИРУЕМ (776–778)

776 На рисунке 5.30 изображён график функции $y = f(x)$, областью определения которой является отрезок $[-2; 2]$. Используя график, ответьте на вопросы:

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

2) Укажите нули функции.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Рис. 5.30

1) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 2]$, проанализируем предоставленный график.
Наибольшее значение функция достигает в своей вершине, так как ветви параболы направлены вниз. По графику, вершина находится в точке с координатами приблизительно $(-0.5; 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = 4$, и оно достигается при $x = -0.5$.
Наименьшее значение функции на отрезке находится либо в точке минимума (которой нет), либо на концах отрезка. Сравним значения функции на концах области определения:

• При $x = -2$, значение функции $y = f(-2) = 2$.
• При $x = 2$, значение функции $y = f(2) = -3$.

Сравнивая значения на концах отрезка ($2$ и $-3$) с наибольшим значением ($4$), видим, что наименьшим является значение $-3$. Оно достигается на правом конце отрезка, при $x = 2$.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 4, достигается при $x = -0.5$. Наименьшее значение функции равно -3, достигается при $x = 2$.

2) Укажите нули функции.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Графически это соответствует точкам пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$).
На графике видно, что в пределах области определения $[-2; 2]$ кривая пересекает ось $x$ только один раз. Эта точка находится между значениями $x=1$ и $x=2$. По клеткам сетки можно определить, что её координата приблизительно равна $1.4$.
Ответ: Нуль функции: $x \approx 1.4$.

3) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Промежутки знакопостоянства определяются тем, где график функции расположен выше или ниже оси абсцисс.
Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Учитывая область определения $[-2; 2]$ и единственный нуль функции $x \approx 1.4$, это происходит на промежутке от $x=-2$ до $x \approx 1.4$. В точке $x=-2$ значение функции $f(-2)=2$, что является положительным.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке от нуля функции $x \approx 1.4$ до конца области определения $x=2$. В точке $x=2$ значение функции $f(2)=-3$, что является отрицательным.
Ответ: Функция принимает положительные значения на промежутке $[-2; 1.4)$ и отрицательные значения на промежутке $(1.4; 2]$.

4) Укажите промежутки, где функция возрастает; убывает.

Промежутки возрастания и убывания (монотонности) функции определяются по направлению графика при движении по оси $x$ слева направо.
Функция возрастает, когда её график поднимается вверх. Это происходит на участке от левой границы области определения $x=-2$ до вершины параболы, абсцисса которой $x = -0.5$.
Функция убывает, когда её график опускается вниз. Это происходит на участке от вершины параболы ($x = -0.5$) до правой границы области определения $x=2$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-2; -0.5]$ и убывает на промежутке $[-0.5; 2]$.