Страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

774 На рисунке 5.25 изображены графики функций $y = \frac{1}{x^2+1}$, $y = -\frac{1}{x^2+1}$, $y = \frac{3}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 5.25

Чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем общие свойства предложенных функций. Все они имеют вид $y = \frac{k}{x^2 + 1}$.

Во-первых, все функции являются чётными, так как $f(-x) = \frac{k}{(-x)^2 + 1} = \frac{k}{x^2 + 1} = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси $Oy$, что мы и наблюдаем на всех четырех рисунках.

Во-вторых, экстремум (максимум или минимум) каждой функции достигается при $x=0$, поскольку в этой точке знаменатель $x^2+1$ принимает свое наименьшее значение, равное 1. Значение функции в точке экстремума равно $y(0) = \frac{k}{0^2+1} = k$. Эта точка $(0, k)$ является вершиной графика. Знак коэффициента $k$ определяет, будет ли это максимум (при $k>0$, график расположен выше оси $Ox$) или минимум (при $k<0$, график расположен ниже оси $Ox$).

В-третьих, при $x \to \pm\infty$, знаменатель $x^2+1 \to \infty$, поэтому значение функции $y \to 0$. Это означает, что ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для всех графиков.

Используя эти свойства, сопоставим каждый график с его формулой, определяя значение $k$ по вершине графика.

①

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная ниже оси $Ox$. Экстремум (минимум) функции находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что $k=-1$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = -\frac{1}{x^2+1}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{x^2+1}$

②

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная выше оси $Ox$. Экстремум (максимум) функции находится в точке $(0, 1)$. Это означает, что $k=1$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = \frac{1}{x^2+1}$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2+1}$

③

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная выше оси $Ox$. Экстремум (максимум) функции находится в точке $(0, 3)$. Это означает, что $k=3$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = \frac{3}{x^2+1}$.

Ответ: $y = \frac{3}{x^2+1}$

④

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная ниже оси $Ox$. Экстремум (минимум) функции находится в точке $(0, -3)$. Это означает, что $k=-3$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Ответ: $y = -\frac{3}{x^2+1}$

775 a) На рисунке 5.26 изображён график функции

$y = x^3 + 3x^2 - x - 3.$

Найдите координаты точек A, B и C.

б) На рисунке 5.27 изображён график функции $y = x^4 - 6x^2 + 5.$

Найдите координаты точек A, B, C и D.

Рис. 5.26

Рис. 5.27

а)

Дана функция $y = x^3 + 3x^2 - x - 3$. Необходимо найти координаты точек A, B и C, которые отмечены на графике (рис. 5.26).

1. Нахождение координат точек A и B (точки пересечения с осью Ox)
Точки, в которых график пересекает ось абсцисс (Ox), имеют ординату (y) равную нулю. Чтобы найти их абсциссы, приравняем уравнение функции к нулю:
$x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$
Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:
$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x + 3)$:
$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$
Множитель $(x^2 - 1)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1)$.
$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -3$.
Это абсциссы трех точек пересечения графика с осью Ox. Согласно рисунку, точка A — самая левая из них, следовательно, ее координата $x_A = -3$. Точка B — самая правая из обозначенных, ее координата $x_B = 1$.
Таким образом, координаты точек: $A(-3; 0)$ и $B(1; 0)$.

2. Нахождение координат точки C (точка пересечения с осью Oy)
Точка, в которой график пересекает ось ординат (Oy), имеет абсциссу (x) равную нулю. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = (0)^3 + 3(0)^2 - (0) - 3 = -3$
Следовательно, координаты точки C: $(0; -3)$.

Ответ: $A(-3; 0)$, $B(1; 0)$, $C(0; -3)$.

б)

Дана функция $y = x^4 - 6x^2 + 5$. Необходимо найти координаты точек A, B, C и D, которые отмечены на графике (рис. 5.27).

1. Нахождение координат точек A, B и C (точки пересечения с осью Ox)
Приравняем функцию к нулю, чтобы найти абсциссы точек пересечения с осью Ox:
$x^4 - 6x^2 + 5 = 0$
Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t=1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
2) Если $t=5$, то $x^2 = 5$, откуда $x = \pm \sqrt{5}$.
Мы получили четыре абсциссы точек пересечения: $-\sqrt{5}$, $-1$, $1$, $\sqrt{5}$.
Сопоставим эти значения с точками на графике, учитывая их расположение на оси Ox:

• Точка A — самая левая, $x_A = -\sqrt{5}$.
• Точка B — следующая, $x_B = -1$.
• Точка C — следующая, $x_C = 1$.

Таким образом, координаты точек: $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$ и $C(1; 0)$.

2. Нахождение координат точки D (точка пересечения с осью Oy)
Подставим $x=0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки пересечения с осью Oy:
$y = (0)^4 - 6(0)^2 + 5 = 5$
Следовательно, координаты точки D: $(0; 5)$. На графике видно, что эта точка также является локальным максимумом функции.

Ответ: $A(-\sqrt{5}; 0)$, $B(-1; 0)$, $C(1; 0)$, $D(0; 5)$.