Страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

762 Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

а) $y = x^2 - 1$, где $-3 \le x \le 3$;

б) $y = 5 - x^2$, где $-4 \le x \le 4$.

а) $y = x^2 - 1$, где $-3 \le x \le 3$

Для построения графика данной функции составим таблицу ее значений на заданном отрезке. Будем выбирать целые значения $x$ от -3 до 3 и вычислять соответствующие значения $y$.

График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика основной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 1 единицу вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.

Чтобы построить график, отметим на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: $(-3, 8)$, $(-2, 3)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 3)$ и $(3, 8)$. Затем соединим эти точки плавной линией. Поскольку область определения функции ограничена отрезком $[-3, 3]$, график будет представлять собой часть параболы.

Ответ: Таблица значений представлена выше. График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями, направленными вверх, ограниченная точками с абсциссами $x=-3$ и $x=3$.

б) $y = 5 - x^2$, где $-4 \le x \le 4$

Составим таблицу значений для функции на отрезке $[-4, 4]$.

График функции $y = 5 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент перед $x^2$ отрицательный). Этот график можно получить из графика параболы $y = -x^2$ путем сдвига на 5 единиц вверх вдоль оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки из таблицы: $(-4, -11)$, $(-3, -4)$, $(-2, 1)$, $(-1, 4)$, $(0, 5)$, $(1, 4)$, $(2, 1)$, $(3, -4)$ и $(4, -11)$. Соединим их плавной кривой. График представляет собой фрагмент параболы на отрезке $[-4, 4]$.

Ответ: Таблица значений представлена выше. График функции — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 5)$ и ветвями, направленными вниз, ограниченная точками с абсциссами $x=-4$ и $x=4$.

763 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 2x$, где $-2 \le x \le 4$;

б) $y = -x^2 - 2x + 2$, где $-4 \le x \le 2$.

а) Построим график функции $y = x^2 - 2x$ на отрезке $[-2; 4]$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы по формулам $x_в = -\frac{b}{2a}$, $y_в = y(x_в)$:

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_в = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$.

Для построения графика найдем значения функции в нескольких точках заданного отрезка, включая его концы. Составим таблицу значений:

Расчеты для таблицы:

• При $x=-2: y = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$
• При $x=-1: y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$
• При $x=0: y = 0^2 - 2(0) = 0$
• При $x=2: y = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$
• При $x=3: y = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$
• При $x=4: y = 4^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8$

Отметим на координатной плоскости точки $(-2; 8), (-1; 3), (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3), (4; 8)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции на отрезке $[-2; 4]$ является часть параболы с вершиной в точке $(1; -1)$ и ветвями, направленными вверх. График ограничен точками $(-2; 8)$ и $(4; 8)$.

б) Построим график функции $y = -x^2 - 2x + 2$ на отрезке $[-4; 2]$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$

$y_в = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 3)$.

Составим таблицу значений функции на заданном отрезке, включая его концы и вершину:

Расчеты для таблицы:

• При $x=-4: y = -(-4)^2 - 2(-4) + 2 = -16 + 8 + 2 = -6$
• При $x=-3: y = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$
• При $x=-2: y = -(-2)^2 - 2(-2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$
• При $x=0: y = -(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$
• При $x=1: y = -(1)^2 - 2(1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$
• При $x=2: y = -(2)^2 - 2(2) + 2 = -4 - 4 + 2 = -6$

Отметим на координатной плоскости точки $(-4; -6), (-3; -1), (-2; 2), (-1; 3), (0; 2), (1; -1), (2; -6)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции на отрезке $[-4; 2]$ является часть параболы с вершиной в точке $(-1; 3)$ и ветвями, направленными вниз. График ограничен точками $(-4; -6)$ и $(2; -6)$.

764 a) Какие из точек (-1; 10), (0; 4), (2; -1), (3; -2) принадлежат графику функции $y = -3x + 7$? Запишите координаты ещё двух каких-либо точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

б) Какие из точек A(0; -5), B(-1; 3), C(-3; 23), D(2; -3) принадлежат графику функции $y = 2x^2 + 1$? Запишите координаты ещё двух каких-либо точек, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

а)

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = -3x + 7$. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Выполним проверку для каждой из заданных точек:

1. Для точки $(-1; 10)$, где $x = -1$ и $y = 10$:
Подставляем значение $x$ в уравнение функции: $y = -3(-1) + 7 = 3 + 7 = 10$.
Полученное значение $y=10$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка $(-1; 10)$ принадлежит графику.

2. Для точки $(0; 4)$, где $x = 0$ и $y = 4$:
Подставляем значение $x$ в уравнение функции: $y = -3(0) + 7 = 0 + 7 = 7$.
Полученное значение $y=7$ не совпадает с ординатой точки ($7 \neq 4$). Следовательно, точка $(0; 4)$ не принадлежит графику.

3. Для точки $(2; -1)$, где $x = 2$ и $y = -1$:
Подставляем значение $x$ в уравнение функции: $y = -3(2) + 7 = -6 + 7 = 1$.
Полученное значение $y=1$ не совпадает с ординатой точки ($1 \neq -1$). Следовательно, точка $(2; -1)$ не принадлежит графику.

4. Для точки $(3; -2)$, где $x = 3$ и $y = -2$:
Подставляем значение $x$ в уравнение функции: $y = -3(3) + 7 = -9 + 7 = -2$.
Полученное значение $y=-2$ совпадает с ординатой точки. Следовательно, точка $(3; -2)$ принадлежит графику.

Теперь запишем координаты ещё двух точек.
Одна точка, которая принадлежит графику: выберем произвольное значение $x$, например $x = 1$, и вычислим соответствующий $y$:
$y = -3(1) + 7 = 4$. Таким образом, точка $(1; 4)$ принадлежит графику.
Другая точка, которая не принадлежит графику: выберем произвольную точку, например $(0; 0)$, и проверим: $y = -3(0) + 7 = 7$. Так как $0 \neq 7$, точка $(0; 0)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графику функции принадлежат точки $(-1; 10)$ и $(3; -2)$. Координаты еще двух точек: $(1; 4)$ — принадлежит графику, $(0; 0)$ — не принадлежит графику.

б)

Аналогично проверим принадлежность заданных точек графику функции $y = 2x^2 + 1$, подставляя их координаты в уравнение.

Выполним проверку для каждой из заданных точек:

1. Для точки $A(0; -5)$, где $x = 0$ и $y = -5$:
Подставляем значение $x$: $y = 2(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$.
Так как $1 \neq -5$, точка $A(0; -5)$ не принадлежит графику.

2. Для точки $B(-1; 3)$, где $x = -1$ и $y = 3$:
Подставляем значение $x$: $y = 2(-1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3$.
Так как $3 = 3$, точка $B(-1; 3)$ принадлежит графику.

3. Для точки $C(-3; 23)$, где $x = -3$ и $y = 23$:
Подставляем значение $x$: $y = 2(-3)^2 + 1 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19$.
Так как $19 \neq 23$, точка $C(-3; 23)$ не принадлежит графику.

4. Для точки $D(2; -3)$, где $x = 2$ и $y = -3$:
Подставляем значение $x$: $y = 2(2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$.
Так как $9 \neq -3$, точка $D(2; -3)$ не принадлежит графику.

Теперь запишем координаты ещё двух точек.
Одна точка, которая принадлежит графику: выберем $x = 2$ и вычислим $y$:
$y = 2(2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$. Таким образом, точка $(2; 9)$ принадлежит графику.
Другая точка, которая не принадлежит графику: выберем точку $(1; 1)$ и проверим. При $x=1$ значение функции равно $y = 2(1)^2 + 1 = 3$. Так как $1 \neq 3$, точка $(1; 1)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графику функции принадлежит точка $B(-1; 3)$. Координаты еще двух точек: $(2; 9)$ — принадлежит графику, $(1; 1)$ — не принадлежит графику.

765 Пересекает ли график функции ось x, и если пересекает, то в каких точках:

a) $y = x^2 + x - 12;$

б) $y = x^2 + x + 1;$

в) $y = x - x^3;$

г) $y = x^4 + 1?$

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции ось x, необходимо найти нули функции, то есть решить уравнение $y = 0$. Если уравнение имеет действительные корни, то график пересекает ось x в точках, абсциссы которых равны этим корням. Если действительных корней нет, то график не пересекает ось x.

а) $y = x^2 + x - 12$

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью x:

$x^2 + x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=1$, $c=-12$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что график функции пересекает ось x в двух точках.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Точки пересечения с осью x имеют ординату $y=0$. Таким образом, координаты точек пересечения: $(3; 0)$ и $(-4; 0)$.

Ответ: Да, пересекает в точках $(3; 0)$ и $(-4; 0)$.

б) $y = x^2 + x + 1$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 + x + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, где $a=1$, $b=1$, $c=1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось x.

Ответ: Нет, не пересекает.

в) $y = x - x^3$

Приравняем функцию к нулю:

$x - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 - x^2) = 0$

Разложим выражение в скобках как разность квадратов:

$x(1 - x)(1 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три корня:

$x_1 = 0$

$1 - x_2 = 0 \implies x_2 = 1$

$1 + x_3 = 0 \implies x_3 = -1$

График функции пересекает ось x в трех точках с координатами: $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: Да, пересекает в точках $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

г) $y = x^4 + 1$

Приравняем функцию к нулю:

$x^4 + 1 = 0$

$x^4 = -1$

Четвертая степень любого действительного числа $x$ всегда неотрицательна, то есть $x^4 \ge 0$. Поэтому равенство $x^4 = -1$ невозможно для действительных чисел $x$. Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, график функции не пересекает ось x.

Ответ: Нет, не пересекает.

766 В каких точках график функции пересекает координатные оси:

а) $y = 20x + 75;$

б) $y = -8x + 1;$

в) $y = x^2 - 16;$

г) $y = 2 - x^2?$

а) $y = 20x + 75$

Для нахождения точки пересечения графика с осью $y$ (осью ординат), необходимо подставить в уравнение функции значение $x=0$:

$y = 20 \cdot 0 + 75 = 75$

Следовательно, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; 75)$.

Для нахождения точки пересечения с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо подставить в уравнение $y=0$ и решить его относительно $x$:

$0 = 20x + 75$

$20x = -75$

$x = -\frac{75}{20} = -\frac{15}{4} = -3.75$

Следовательно, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-3.75; 0)$.

Ответ: $(0; 75)$, $(-3.75; 0)$.

б) $y = -8x + 1$

Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x=0$:

$y = -8 \cdot 0 + 1 = 1$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 1)$.

Для нахождения точки пересечения с осью $x$, подставим $y=0$:

$0 = -8x + 1$

$8x = 1$

$x = \frac{1}{8}$

Точка пересечения с осью $x$: $(\frac{1}{8}; 0)$.

Ответ: $(0; 1)$, $(\frac{1}{8}; 0)$.

в) $y = x^2 - 16$

Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x=0$:

$y = 0^2 - 16 = -16$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; -16)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$, подставим $y=0$:

$0 = x^2 - 16$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Точки пересечения с осью $x$: $(4; 0)$ и $(-4; 0)$.

Ответ: $(0; -16)$, $(4; 0)$, $(-4; 0)$.

г) $y = 2 - x^2$

Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x=0$:

$y = 2 - 0^2 = 2$

Точка пересечения с осью $y$: $(0; 2)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $x$, подставим $y=0$:

$0 = 2 - x^2$

$x^2 = 2$

$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$

Точки пересечения с осью $x$: $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: $(0; 2)$, $(\sqrt{2}; 0)$, $(-\sqrt{2}; 0)$.