Номер 765, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. График функции. Глава 5. Функции - номер 765, страница 247.

Условие.

765 Пересекает ли график функции ось x, и если пересекает, то в каких точках:

a) $y = x^2 + x - 12;$

б) $y = x^2 + x + 1;$

в) $y = x - x^3;$

г) $y = x^4 + 1?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции ось x, необходимо найти нули функции, то есть решить уравнение $y = 0$. Если уравнение имеет действительные корни, то график пересекает ось x в точках, абсциссы которых равны этим корням. Если действительных корней нет, то график не пересекает ось x.

а) $y = x^2 + x - 12$

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью x:

$x^2 + x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=1$, $c=-12$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что график функции пересекает ось x в двух точках.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Точки пересечения с осью x имеют ординату $y=0$. Таким образом, координаты точек пересечения: $(3; 0)$ и $(-4; 0)$.

Ответ: Да, пересекает в точках $(3; 0)$ и $(-4; 0)$.

б) $y = x^2 + x + 1$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 + x + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения, где $a=1$, $b=1$, $c=1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось x.

Ответ: Нет, не пересекает.

в) $y = x - x^3$

Приравняем функцию к нулю:

$x - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 - x^2) = 0$

Разложим выражение в скобках как разность квадратов:

$x(1 - x)(1 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три корня:

$x_1 = 0$

$1 - x_2 = 0 \implies x_2 = 1$

$1 + x_3 = 0 \implies x_3 = -1$

График функции пересекает ось x в трех точках с координатами: $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: Да, пересекает в точках $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

г) $y = x^4 + 1$

Приравняем функцию к нулю:

$x^4 + 1 = 0$

$x^4 = -1$

Четвертая степень любого действительного числа $x$ всегда неотрицательна, то есть $x^4 \ge 0$. Поэтому равенство $x^4 = -1$ невозможно для действительных чисел $x$. Уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, график функции не пересекает ось x.

Ответ: Нет, не пересекает.