Номер 760, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. График функции. Глава 5. Функции - номер 760, страница 246.

Условие.

760 МОДЕЛИРУЕМ

1) Велосипедист въехал на небольшую гору. За первую минуту он преодолел при подъёме 250 м, за вторую минуту - 200 м, за третью минуту - 150 м, за четвёртую минуту - 130 м, за пятую минуту - 100 м, за шестую минуту - 80 м. Расстояние $s$ (в метрах), на котором находился велосипедист от основания горы, является функцией времени движения $t$ (в минутах). Постройте график этой функции.

2) Используя график, ответьте на вопросы:

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин? через 4,5 мин? через 6 мин?

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м? равное 800 м?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для построения графика функции зависимости расстояния $s$ (в метрах) от времени движения $t$ (в минутах), сначала определим координаты точек графика. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное велосипедистом, в конце каждой минуты. Пусть $s(t)$ — это расстояние от основания горы в момент времени $t$.

В начальный момент времени $t=0$, велосипедист находится у основания горы, поэтому $s(0) = 0$.
Через 1 минуту: $s(1) = 250$ м.
Через 2 минуты: $s(2) = s(1) + 200 = 250 + 200 = 450$ м.
Через 3 минуты: $s(3) = s(2) + 150 = 450 + 150 = 600$ м.
Через 4 минуты: $s(4) = s(3) + 130 = 600 + 130 = 730$ м.
Через 5 минут: $s(5) = s(4) + 100 = 730 + 100 = 830$ м.
Через 6 минут: $s(6) = s(5) + 80 = 830 + 80 = 910$ м.

Таким образом, мы получили следующие точки для построения графика: $(0, 0)$, $(1, 250)$, $(2, 450)$, $(3, 600)$, $(4, 730)$, $(5, 830)$, $(6, 910)$.
График функции $s(t)$ строится в системе координат, где по горизонтальной оси откладывается время $t$ в минутах, а по вертикальной оси — расстояние $s$ в метрах. График представляет собой ломаную линию, которая последовательно соединяет эти точки.

2)

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин? через 4,5 мин? через 6 мин?

Для ответа на эти вопросы используем построенный график. Предполагая, что скорость движения в течение каждой минуты была постоянной, мы можем использовать линейную интерполяцию между узловыми точками.

- Через 2,5 мин: Этот момент времени находится на полпути между $t=2$ мин и $t=3$ мин. Расстояние в этот момент будет средним арифметическим расстояний $s(2)$ и $s(3)$.
$s(2,5) = s(2) + (s(3) - s(2)) \cdot (2,5 - 2) = 450 + (600 - 450) \cdot 0,5 = 450 + 150 \cdot 0,5 = 450 + 75 = 525$ м.

- Через 4,5 мин: Этот момент времени находится на полпути между $t=4$ мин и $t=5$ мин. Расстояние будет средним арифметическим расстояний $s(4)$ и $s(5)$.
$s(4,5) = s(4) + (s(5) - s(4)) \cdot (4,5 - 4) = 730 + (830 - 730) \cdot 0,5 = 730 + 100 \cdot 0,5 = 730 + 50 = 780$ м.

- Через 6 мин: Это одна из вычисленных нами точек.
$s(6) = 910$ м.

Ответ: через 2,5 мин велосипедист находился на расстоянии примерно 525 м; через 4,5 мин — 780 м; через 6 мин — 910 м.

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м? равное 800 м?

Для ответа на эти вопросы также воспользуемся графиком.

- Расстояние 350 м: Это расстояние было преодолено между $t=1$ мин ($s=250$ м) и $t=2$ мин ($s=450$ м). За вторую минуту велосипедист проехал $450 - 250 = 200$ м. Чтобы преодолеть расстояние $350 - 250 = 100$ м после первой минуты, ему потребовалось:
$ \Delta t = \frac{100 \text{ м}}{200 \text{ м/мин}} = 0,5 $ мин.
Общее время: $t = 1 + 0,5 = 1,5$ мин.

- Расстояние 800 м: Это расстояние было преодолено между $t=4$ мин ($s=730$ м) и $t=5$ мин ($s=830$ м). За пятую минуту велосипедист проехал $830 - 730 = 100$ м. Чтобы преодолеть расстояние $800 - 730 = 70$ м после четвертой минуты, ему потребовалось:
$ \Delta t = \frac{70 \text{ м}}{100 \text{ м/мин}} = 0,7 $ мин.
Общее время: $t = 4 + 0,7 = 4,7$ мин.

Ответ: расстояние 350 м велосипедист преодолел примерно за 1,5 мин; расстояние 800 м — примерно за 4,7 мин.