Номер 759, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. График функции. Глава 5. Функции - номер 759, страница 246.

Условие.

759 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша посадила подсолнух и в течение 12 недель вела наблюдение за его ростом, измеряя длину стебля в конце каждой недели. Результаты её наблюдений представлены в следующей таблице:

Рис. 5.22

t, нед.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
h, см	20	37	73	100	140	175	200	225	240	250	255	260

Постройте график функции $h = f(t)$, где $t$ — время (нед.), $h$ — длина стебля (см). Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи построим график функции $h = f(t)$, откладывая по оси абсцисс время $t$ в неделях, а по оси ординат — длину стебля $h$ в сантиметрах. Для этого отметим на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: $(1, 20)$, $(2, 37)$, $(3, 73)$, $(4, 100)$, $(5, 140)$, $(6, 175)$, $(7, 200)$, $(8, 225)$, $(9, 240)$, $(10, 250)$, $(11, 255)$ и $(12, 260)$. Соединим полученные точки плавной линией. Используя данные таблицы и построенный график, ответим на вопросы.

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

Чтобы найти длину стебля в определённый момент времени, нужно найти значение $h$ для заданного $t$ на графике. Это можно сделать, проведя интерполяцию между известными точками.

Через 3,5 недели: Это время находится между концом 3-й недели ($h = 73$ см) и концом 4-й недели ($h = 100$ см). Приблизительное значение можно найти как среднее арифметическое: $h(3,5) \approx \frac{h(3) + h(4)}{2} = \frac{73 + 100}{2} = \frac{173}{2} = 86,5$ см.

Через 6,5 недели: Это время находится между концом 6-й недели ($h = 175$ см) и концом 7-й недели ($h = 200$ см). $h(6,5) \approx \frac{h(6) + h(7)}{2} = \frac{175 + 200}{2} = \frac{375}{2} = 187,5$ см.

Ответ: Через 3,5 недели длина стебля была примерно 87 см, а через 6,5 недели — примерно 188 см.

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

Чтобы найти, когда длина стебля достигла определённого значения, нужно найти значение $t$ для заданного $h$.

Длина 50 см: Это значение находится между $h(2) = 37$ см и $h(3) = 73$ см. Значит, это произошло в течение третьей недели. Третья неделя — это дни с 15-го по 21-й. Поскольку 50 ближе к 37, чем к 73, это произошло в начале недели. Более точно: прирост за неделю составил $73 - 37 = 36$ см. Чтобы вырасти с 37 до 50 см, нужно $50 - 37 = 13$ см. Это займет $\frac{13}{36}$ недели, что составляет $\frac{13}{36} \times 7 \approx 2,5$ дня. Таким образом, это произошло на 14 + 2,5 = 16,5, то есть примерно на 17-й день.

Длина 210 см: Это значение находится между $h(7) = 200$ см и $h(8) = 225$ см. Это произошло в течение восьмой недели (дни с 50-го по 56-й). Прирост за неделю составил $225 - 200 = 25$ см. Чтобы вырасти с 200 до 210 см, нужно $210 - 200 = 10$ см. Это займет $\frac{10}{25} = 0,4$ недели, что составляет $0,4 \times 7 = 2,8$ дня. Таким образом, это произошло на 49 + 2,8 = 51,8, то есть примерно на 52-й день.

Ответ: Длина стебля достигла 50 см примерно на 17-й день, а 210 см — примерно на 52-й день.

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

Скорость роста — это изменение длины стебля за неделю. Вычислим прирост для каждой недели:

За 2-ю неделю: $37 - 20 = 17$ см.

За 3-ю неделю: $73 - 37 = 36$ см.

За 4-ю неделю: $100 - 73 = 27$ см.

За 5-ю неделю: $140 - 100 = 40$ см (максимальный прирост).

За 6-ю неделю: $175 - 140 = 35$ см.

За 7-ю неделю: $200 - 175 = 25$ см.

За 8-ю неделю: $225 - 200 = 25$ см.

За 9-ю неделю: $240 - 225 = 15$ см.

За 10-ю неделю: $250 - 240 = 10$ см.

За 11-ю неделю: $255 - 250 = 5$ см (минимальный прирост).

За 12-ю неделю: $260 - 255 = 5$ см (минимальный прирост).

Ответ: Быстрее всего подсолнух рос в течение 5-й недели, а медленнее всего — в течение 11-й и 12-й недель.

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

Рост за первые четыре недели (с начала наблюдений до конца 4-й недели) составил $h(4) = 100$ см (предполагая, что $h(0) = 0$).

Рост за следующие четыре недели (с конца 4-й недели до конца 8-й недели) составил $h(8) - h(4) = 225 - 100 = 125$ см.

Сравнивая прирост, $125 \text{ см} > 100 \text{ см}$, делаем вывод, что рост был интенсивнее в следующие четыре недели.

Ответ: Рост растения был интенсивнее в следующие четыре недели (с 5-й по 8-ю).

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Нам нужно найти момент времени $t$, когда длина стебля $h$ стала больше 152 см. Посмотрим на данные в таблице:

В конце 5-й недели рост подсолнуха был $h(5) = 140$ см, что меньше роста Маши.

В конце 6-й недели рост подсолнуха был $h(6) = 175$ см, что больше роста Маши.

Следовательно, подсолнух перерос Машу в промежутке между концом 5-й и концом 6-й недели, то есть в течение 6-й недели.

Ответ: Подсолнух перерос Машу в течение шестой недели.