Номер 772, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. 5.3. График функции. Упражнения - номер 772, страница 248.

Условие.

772 РАССУЖДАЕМ

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси $x$. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Постройте график функции, заданной формулой $y = x^2 + 1$.

График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола. Чтобы его построить, можно использовать известный график функции $y = x^2$ и выполнить его преобразование.

1. Базовый график — это парабола $y = x^2$. Ее вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх, и она симметрична относительно оси ординат ($Oy$).

2. Функция $y = x^2 + 1$ получается из $y = x^2$ добавлением константы 1. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) всего графика $y = x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Таким образом, все точки параболы $y = x^2$ смещаются на 1 единицу вверх. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(0, 1)$. Ветви параболы по-прежнему будут направлены вверх.

Для точности построения можно найти координаты нескольких ключевых точек, составив таблицу значений:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	5	2	1	2	5

Отметив на координатной плоскости точки $(-2, 5)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 5)$ и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вверх, полученная сдвигом параболы $y = x^2$ на одну единицу вверх.

2) Начертите кривую, симметричную этому графику относительно оси x. Эта кривая — график некоторой функции. Задайте эту функцию формулой.

Симметрия графика функции относительно оси $x$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике существует точка $(x, -y)$ на симметричном графике. То есть, при отражении относительно оси $x$ абсцисса ($x$) точки сохраняется, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.

Пусть исходная функция — это $y_{1} = x^2 + 1$. Обозначим новую, симметричную ей функцию, как $y_{2}$. Согласно правилу симметрии, для любого значения $x$ должно выполняться равенство $y_{2} = -y_{1}$.

Подставим в это равенство выражение для $y_{1}$:
$y_{2} = -(x^2 + 1)$
$y_{2} = -x^2 - 1$

Таким образом, искомая функция задается формулой $y = -x^2 - 1$.

Графиком этой функции также является парабола. Она симметрична параболе $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$.

• Вершина исходной параболы $(0, 1)$ при симметрии переходит в точку $(0, -1)$, которая является вершиной новой параболы.
• Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви новой параболы направлены вниз.

Чтобы начертить кривую, можно отразить ключевые точки графика $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$:
$(-2, 5) \rightarrow (-2, -5)$
$(-1, 2) \rightarrow (-1, -2)$
$(0, 1) \rightarrow (0, -1)$
$(1, 2) \rightarrow (1, -2)$
$(2, 5) \rightarrow (2, -5)$

Соединив эти точки, мы получим график параболы $y = -x^2 - 1$.

Ответ: Кривая, симметричная графику функции $y = x^2 + 1$ относительно оси $x$, является графиком функции $y = -x^2 - 1$.