Номер 773, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. График функции. Глава 5. Функции - номер 773, страница 248.

Условие.

773 Докажите, что график функции:

a) $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости;

б) $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$;

в) $y = 3-\frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что график функции $y = 3x^2 + 4$ целиком расположен в верхней полуплоскости, необходимо показать, что для любого действительного значения $x$ соответствующее значение $y$ будет положительным, то есть $y > 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $3x^2$ также неотрицательно: $3x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному выражению прибавить 4, то результат будет не меньше 4. Таким образом, $y = 3x^2 + 4 \ge 0 + 4$, что означает $y \ge 4$. Так как для любого $x$ значение функции $y$ всегда больше или равно 4, оно всегда положительно. Это доказывает, что все точки графика находятся выше оси $x$.
Ответ: Поскольку для любого значения $x$ выполняется неравенство $y \ge 4$, а значит и $y > 0$, график функции целиком расположен в верхней полуплоскости.

б) График функции пересекает ось $x$ в точках, где $y = 0$. Чтобы доказать, что график функции $y = \frac{x^2+5}{x-5}$ не пересекает ось $x$, нужно показать, что уравнение $\frac{x^2+5}{x-5} = 0$ не имеет действительных решений. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: $x^2+5=0$. Это уравнение равносильно $x^2 = -5$. В множестве действительных чисел оно не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку числитель дроби никогда не обращается в нуль, сама функция не может принимать значение, равное нулю.
Ответ: Уравнение $y=0$ не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось $x$.

в) График функции пересекает ось $y$ в точке, где $x=0$. Чтобы доказать, что график функции $y = 3 - \frac{1}{x}$ не пересекает ось $y$, необходимо рассмотреть ее область определения. Данная функция содержит выражение $\frac{1}{x}$, которое определено для всех $x$, кроме $x=0$, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, $x=0$ не входит в область определения функции. Поскольку функция не определена при $x=0$, на графике не существует точки с абсциссой, равной нулю. Это означает, что график не может пересечь ось $y$.
Ответ: Функция не определена в точке $x=0$, поэтому её график не пересекает ось $y$.