Номер 774, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.3. График функции. Глава 5. Функции - номер 774, страница 249.

Условие.

774 На рисунке 5.25 изображены графики функций $y = \frac{1}{x^2+1}$, $y = -\frac{1}{x^2+1}$, $y = \frac{3}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 5.25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем общие свойства предложенных функций. Все они имеют вид $y = \frac{k}{x^2 + 1}$.

Во-первых, все функции являются чётными, так как $f(-x) = \frac{k}{(-x)^2 + 1} = \frac{k}{x^2 + 1} = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси $Oy$, что мы и наблюдаем на всех четырех рисунках.

Во-вторых, экстремум (максимум или минимум) каждой функции достигается при $x=0$, поскольку в этой точке знаменатель $x^2+1$ принимает свое наименьшее значение, равное 1. Значение функции в точке экстремума равно $y(0) = \frac{k}{0^2+1} = k$. Эта точка $(0, k)$ является вершиной графика. Знак коэффициента $k$ определяет, будет ли это максимум (при $k>0$, график расположен выше оси $Ox$) или минимум (при $k<0$, график расположен ниже оси $Ox$).

В-третьих, при $x \to \pm\infty$, знаменатель $x^2+1 \to \infty$, поэтому значение функции $y \to 0$. Это означает, что ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для всех графиков.

Используя эти свойства, сопоставим каждый график с его формулой, определяя значение $k$ по вершине графика.

①

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная ниже оси $Ox$. Экстремум (минимум) функции находится в точке $(0, -1)$. Это означает, что $k=-1$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = -\frac{1}{x^2+1}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{x^2+1}$

②

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная выше оси $Ox$. Экстремум (максимум) функции находится в точке $(0, 1)$. Это означает, что $k=1$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = \frac{1}{x^2+1}$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2+1}$

③

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная выше оси $Ox$. Экстремум (максимум) функции находится в точке $(0, 3)$. Это означает, что $k=3$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = \frac{3}{x^2+1}$.

Ответ: $y = \frac{3}{x^2+1}$

④

На данном графике изображена функция, симметричная относительно оси $Oy$ и расположенная ниже оси $Ox$. Экстремум (минимум) функции находится в точке $(0, -3)$. Это означает, что $k=-3$. Из предложенных функций этому условию удовлетворяет формула $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Ответ: $y = -\frac{3}{x^2+1}$