Страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

740 Найдите значение функции, заданной формулой:

а) $y = 3x + 5$ для значения аргумента, равного -2; -1; 0; 3;

б) $y = 2x^2 - 10x$ для значения аргумента, равного -1; 0; 2; 3;

в) $y = x^3 - 3$ для значения аргумента, равного -1; -2; 0; 1; 2;

г) $y = \frac{2}{3+x}$ для значения аргумента, равного -5; -1; 0; 5.

а) Для функции $y = 3x + 5$ найдем значения для каждого аргумента:

Если $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.

Если $x = -1$, то $y = 3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2$.

Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.

Если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14$.

Ответ: -1; 2; 5; 14.

б) Для функции $y = 2x^2 - 10x$ найдем значения для каждого аргумента:

Если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1)^2 - 10 \cdot (-1) = 2 \cdot 1 + 10 = 12$.

Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.

Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2^2 - 10 \cdot 2 = 2 \cdot 4 - 20 = 8 - 20 = -12$.

Если $x = 3$, то $y = 2 \cdot 3^2 - 10 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 30 = 18 - 30 = -12$.

Ответ: 12; 0; -12; -12.

в) Для функции $y = x^3 - 3$ найдем значения для каждого аргумента:

Если $x = -1$, то $y = (-1)^3 - 3 = -1 - 3 = -4$.

Если $x = -2$, то $y = (-2)^3 - 3 = -8 - 3 = -11$.

Если $x = 0$, то $y = 0^3 - 3 = 0 - 3 = -3$.

Если $x = 1$, то $y = 1^3 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Если $x = 2$, то $y = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Ответ: -4; -11; -3; -2; 5.

г) Для функции $y = \frac{2}{3+x}$ найдем значения для каждого аргумента:

Если $x = -5$, то $y = \frac{2}{3 + (-5)} = \frac{2}{3 - 5} = \frac{2}{-2} = -1$.

Если $x = -1$, то $y = \frac{2}{3 + (-1)} = \frac{2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{3 + 0} = \frac{2}{3}$.

Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{3 + 5} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: -1; 1; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$.

741 Дана функция $y = 1 - x^3$. Заполните таблицу:

$x$: -3, , , 0, , 2,

$y$: , 9, 2, , 0, , -26

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого столбца вычислить недостающее значение. Если известен аргумент x, мы находим значение функции y, подставляя x в формулу $y = 1 - x^3$. Если известна функция y, мы находим аргумент x, решая уравнение относительно x.

1. Найдем значение y при x = -3

Подставим $x = -3$ в данное уравнение:

$y = 1 - (-3)^3 = 1 - (-27) = 1 + 27 = 28$

Ответ: 28

2. Найдем значение x при y = 9

Подставим $y = 9$ в уравнение и решим его относительно x:

$9 = 1 - x^3$

$x^3 = 1 - 9$

$x^3 = -8$

$x = \sqrt[3]{-8} = -2$

Ответ: -2

3. Найдем значение x при y = 2

Подставим $y = 2$ в уравнение и решим его относительно x:

$2 = 1 - x^3$

$x^3 = 1 - 2$

$x^3 = -1$

$x = \sqrt[3]{-1} = -1$

Ответ: -1

4. Найдем значение y при x = 0

Подставим $x = 0$ в данное уравнение:

$y = 1 - 0^3 = 1 - 0 = 1$

Ответ: 1

5. Найдем значение x при y = 0

Подставим $y = 0$ в уравнение и решим его относительно x:

$0 = 1 - x^3$

$x^3 = 1$

$x = \sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: 1

6. Найдем значение y при x = 2

Подставим $x = 2$ в данное уравнение:

$y = 1 - 2^3 = 1 - 8 = -7$

Ответ: -7

7. Найдем значение x при y = -26

Подставим $y = -26$ в уравнение и решим его относительно x:

$-26 = 1 - x^3$

$x^3 = 1 - (-26)$

$x^3 = 1 + 26$

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

В результате получаем полностью заполненную таблицу:

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (742–744)

742 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 4$.

a) Как обозначить значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 10? 0? –8? Вычислите эти значения функции.

б) Используя функциональную символику, запишите следующее утверждение: если значение аргумента равно 5, то значение функции равно 29. Верно ли это утверждение?

в) Запишите на символическом языке утверждение: функция принимает равные значения при $x = -2$ и $x = 2$. Верно ли это утверждение?

а) Значение функции, соответствующее определенному значению аргумента, обозначается как $f(x)$, где $x$ — это значение аргумента. Таким образом:

• Для аргумента, равного 10, значение функции обозначается как $f(10)$.

• Для аргумента, равного 0, значение функции обозначается как $f(0)$.

• Для аргумента, равного –8, значение функции обозначается как $f(-8)$.

Вычислим эти значения, подставляя соответствующие значения аргумента в формулу функции $f(x) = x^2 + 4$:

• $f(10) = 10^2 + 4 = 100 + 4 = 104$.

• $f(0) = 0^2 + 4 = 0 + 4 = 4$.

• $f(-8) = (-8)^2 + 4 = 64 + 4 = 68$.

Ответ: значения функции обозначаются как $f(10)$, $f(0)$, $f(-8)$ и равны соответственно 104, 4 и 68.

б) Утверждение "если значение аргумента равно 5, то значение функции равно 29" с использованием функциональной символики записывается в виде равенства: $f(5) = 29$.

Чтобы проверить, верно ли это утверждение, вычислим значение функции $f(x) = x^2 + 4$ при $x = 5$:

$f(5) = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29$.

Полученное значение (29) совпадает со значением в утверждении, следовательно, утверждение верно.

Ответ: $f(5) = 29$; утверждение верно.

в) Утверждение "функция принимает равные значения при $x = -2$ и $x = 2$" на символическом языке записывается как $f(-2) = f(2)$.

Чтобы проверить, верно ли это утверждение, вычислим значения функции в точках $x = -2$ и $x = 2$:

• $f(-2) = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$.

• $f(2) = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$.

Так как $f(-2) = 8$ и $f(2) = 8$, то равенство $f(-2) = f(2)$ является верным. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: $f(-2) = f(2)$; утверждение верно.

743 Дана функция $f(x)=-\frac{1}{x}+5$. Найдите:

а) $f(-1)$;

б) $f(\frac{1}{4})$;

в) $f(-0,1)$;

г) $f(2)$.

Для того чтобы найти значение функции $f(x) = -\frac{1}{x} + 5$ при заданном значении аргумента, необходимо подставить это значение вместо $x$ в формулу функции и выполнить вычисления.

а)

Найдём значение $f(-1)$. Для этого подставим $x = -1$ в заданную функцию:

$f(-1) = -\frac{1}{-1} + 5$

Выполним вычисления. Отношение двух отрицательных чисел положительно:

$-\frac{1}{-1} = 1$

Теперь выполним сложение:

$f(-1) = 1 + 5 = 6$

Ответ: 6

б)

Найдём значение $f(\frac{1}{4})$. Для этого подставим $x = \frac{1}{4}$ в заданную функцию:

$f(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{\frac{1}{4}} + 5$

Выполним вычисления. Деление на дробь $\frac{1}{4}$ эквивалентно умножению на обратную ей дробь 4:

$-\frac{1}{\frac{1}{4}} = -1 \cdot 4 = -4$

Теперь выполним сложение:

$f(\frac{1}{4}) = -4 + 5 = 1$

Ответ: 1

в)

Найдём значение $f(-0,1)$. Для этого подставим $x = -0,1$ в заданную функцию:

$f(-0,1) = -\frac{1}{-0,1} + 5$

Выполним вычисления. Удобно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,1 = -\frac{1}{10}$.

$-\frac{1}{-0,1} = \frac{1}{0,1} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 1 \cdot 10 = 10$

Теперь выполним сложение:

$f(-0,1) = 10 + 5 = 15$

Ответ: 15

г)

Найдём значение $f(2)$. Для этого подставим $x = 2$ в заданную функцию:

$f(2) = -\frac{1}{2} + 5$

Выполним вычисления. Можно представить дробь в виде десятичного числа: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

$f(2) = -0,5 + 5 = 4,5$

Альтернативный способ — привести к общему знаменателю:

$f(2) = -\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{10}{2} = \frac{-1+10}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5

744 Известно, что $f(x) = 0.5x^2 - 4$. Сравните:

а) $f(-5)$ и $f(4)$;

б) $f(1)$ и $f(-1)$;

в) $f(\sqrt{8})$ и $f(-\sqrt{10})$.

Для решения задачи нам дана функция $f(x) = 0,5x^2 - 4$. Чтобы сравнить значения функции в различных точках, мы можем либо напрямую вычислить эти значения, либо проанализировать свойства самой функции.

Заметим, что функция $f(x) = 0,5x^2 - 4$ является четной, так как $f(-x) = 0,5(-x)^2 - 4 = 0,5x^2 - 4 = f(x)$. Это означает, что для любых противоположных значений аргумента значения функции равны, то есть $f(a) = f(-a)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $0,5 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Это означает, что чем дальше аргумент $x$ находится от нуля (т.е. чем больше его модуль $|x|$), тем большее значение принимает функция.

а) Сравнить $f(-5)$ и $f(4)$.

Подставим значения аргументов в формулу функции:

1. Найдем $f(-5)$:

$f(-5) = 0,5 \cdot (-5)^2 - 4 = 0,5 \cdot 25 - 4 = 12,5 - 4 = 8,5$.

2. Найдем $f(4)$:

$f(4) = 0,5 \cdot 4^2 - 4 = 0,5 \cdot 16 - 4 = 8 - 4 = 4$.

3. Сравним полученные значения:

$8,5 > 4$, значит, $f(-5) > f(4)$.

Альтернативно, можно было сравнить модули аргументов: $|-5| = 5$ и $|4| = 4$. Так как $5 > 4$, то и значение функции в точке $-5$ будет больше, чем в точке $4$.

Ответ: $f(-5) > f(4)$.

б) Сравнить $f(1)$ и $f(-1)$.

Так как функция является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$. Следовательно, $f(1) = f(-1)$.

Проверим это прямым вычислением:

$f(1) = 0,5 \cdot 1^2 - 4 = 0,5 \cdot 1 - 4 = 0,5 - 4 = -3,5$.

$f(-1) = 0,5 \cdot (-1)^2 - 4 = 0,5 \cdot 1 - 4 = 0,5 - 4 = -3,5$.

Значения действительно равны.

Ответ: $f(1) = f(-1)$.

в) Сравнить $f(\sqrt{8})$ и $f(-\sqrt{10})$.

Подставим значения аргументов в формулу функции:

1. Найдем $f(\sqrt{8})$:

$f(\sqrt{8}) = 0,5 \cdot (\sqrt{8})^2 - 4 = 0,5 \cdot 8 - 4 = 4 - 4 = 0$.

2. Найдем $f(-\sqrt{10})$:

$f(-\sqrt{10}) = 0,5 \cdot (-\sqrt{10})^2 - 4 = 0,5 \cdot 10 - 4 = 5 - 4 = 1$.

3. Сравним полученные значения:

$0 < 1$, значит, $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.

Альтернативно, можно сравнить модули аргументов: $|\sqrt{8}| = \sqrt{8}$ и $|-\sqrt{10}| = \sqrt{10}$. Так как $8 < 10$, то $\sqrt{8} < \sqrt{10}$, следовательно, $| \sqrt{8} | < | -\sqrt{10} |$. Поскольку функция возрастает при увеличении модуля аргумента, то $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.

Ответ: $f(\sqrt{8}) < f(-\sqrt{10})$.